虛數單位

在數學、物理及工程學裏，虛數單位是指二次方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的解。虽然沒有這樣的实数可以滿足這個二次方程，但可以通過虛數單位将實數系統 $ℝ$ 延伸至复数系統 $ℂ$ 。延伸的主要動機為有很多實係數多項式方程式無實數解。例如剛才提到的方程式 $x^{2} + 1 = 0$ 就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數，那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。虛數單位通常標記為 $i$ ，但在涉及电气、电机工程等电学相关领域时，则往往标记为 $j$ ，这是为了避免与电流（记为 $i (t)$ 或 $i$ ）相混淆。

定義

$\dots$
$i^{- 3} = i$
$i^{- 2} = - 1$
$i^{- 1} = - i$
$i^{0} = 1$
$i^{1} = i$
$i^{2} = - 1$
$i^{3} = - i$
$i^{4} = 1$
$i^{5} = i$
$i^{6} = - 1$
$\dots$

虛數單位 $i$ 定義為二次方程式 $x^{2} + 1 = 0$ 的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為：

x^{2} = - 1

。

由於實數的平方絕不可能是負數，我們假設有這麼一個數目解答，給它設定一個符號 $i$ 。很重要的一點是， $i$ 是一個良定義的數學構造。

另外，虛數單位同樣可以表示為：

i = \sqrt{- 1}

然而 $i = \sqrt{- 1}$ 往往被誤認為是錯的，他們的證明的方法是：

因為

- 1 = i \cdot i = (\sqrt{- 1}) \times (\sqrt{- 1}) = \sqrt{(- 1) \times (- 1)} = \sqrt{1} = 1

，但是-1不等於1。

但請注意：

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

成立的條件有

a

,

b

不能為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時，我們只需要假設 $i$ 是一個未知數，然後依照 $i$ 的定義，替代任何 $i^{2}$ 的出現為-1。 $i$ 的更高整數冪數也可以替代為 $- i$ ， $1$ ，或 $i$ ，根據下述方程式：

i^{3} = i^{2} i = (- 1) i = - i

，

i^{4} = i^{3} i = (- i) i = - (i^{2}) = - (- 1) = 1

，

i^{5} = i^{4} i = (1) i = i

。

一般地，有以下的公式：

i^{4 n} = 1

i^{4 n + 1} = i

i^{4 n + 2} = - 1

i^{4 n + 3} = - i

i^{n} = i^{n mod 4}

其中 $mod 4$ 表示被4除的余数。

補充定义

虚数单位 $i$ 是复数域 $ℂ$ 中的一个基本元素，其核心性质由以下等价方式之一定义：

代数定义

作为二次方程 $x^{2} + 1 = 0$ 的一个解。即， $i$ 是满足方程

i^{2} = - 1

的数。由于该方程在实数域 $ℝ$ 内无解，引入 $i$ 是构造更广的数系——复数域的关键步骤。

作为有序对

在复数严格的公理化构造中，复数定义为有序对 $(a, b)$ ，其中 $a, b \in ℝ$ 。在此框架下，虚数单位 $i$ 被定义为有序对

i := (0, 1)

。

而复数的乘法规则定义为 $(a, b) \cdot (c, d) = (a c - b d, a d + b c)$ 。由此可验证：

i^{2} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (- 1, 0) = - 1

。

这一定义完全绕开了“负数的平方根”这一初始概念，从而在逻辑上更为基础。

$i$ 和 $- i$

方程 $x^{2} = - 1$ 有两个不同的解，它们都是有效的，且互为共轭虚数及倒數。更加确切地，一旦固定了方程的一个解 $i$ ，那么 $- i$ （不等于 $i$ ）也是一个解，由于这个方程是 $i$ 的唯一的定义，因此这个定义表面上有歧义。然而，只要把其中一个解选定，并固定为 $i$ ，那么实际上是没有歧义的。这是因为，虽然 $- i$ 和 $i$ 在数量上不是相等的（它们是一对共轭虚数），但是 $i$ 和 $- i$ 之间没有质量上的区别（-1和+1就不是这样的）。在任何的等式中同時將所有i替換為-i，該等式仍成立。

- i^{2} = 1

- i = i^{- 1} = \frac{1}{i}

正当的使用

虚数单位有时记为 $\sqrt{- 1}$ 。但是，使用这种记法时需要非常谨慎，这是因为有些在实数范围内成立的公式在复数范围内并不成立。例如，公式 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ 仅对于非负的实数 $a$ 和 $b$ 才成立。

假若這個關係在虚数仍成立，則會出現以下情況：

- 1 = i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{(- 1) \cdot (- 1)} = \sqrt{1} = 1

（不正确）

- 1 = i \cdot i = \pm \sqrt{- 1} \cdot \pm \sqrt{- 1} = \pm \sqrt{(- 1) \cdot (- 1)} = \pm \sqrt{1} = \pm 1

（不正确）

\frac{1}{i} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{- 1}} = \sqrt{\frac{1}{- 1}} = \sqrt{- 1} = i

（不正确）

与主平方根的关系

在复数域中，“平方根”是一个多值函数。对于非负实数 $a$ ，符号 $\sqrt{a}$ 通常指其唯一的非负实平方根（称为**算术平方根**或**主平方根**）。然而，对于负数或一般的复数，符号 $\sqrt{z}$ 必须明确其分支的选择。通常，复数的**主平方根**函数定义为其辐角落在区间 $(- π, π]$ 内的那个根。在这种约定下， $\sqrt{- 1}$ 的主值是 $i$ （而非 $- i$ ）。即便如此，涉及多个复数的主平方根的恒等式也普遍不成立。因此，在处理复数时，最安全且清晰的做法是直接使用符号 $i$ 及其基本性质 $i^{2} = - 1$ 进行计算，避免对负数直接应用根号运算法则。

i的运算

利用复数的运算规则和欧拉公式，可以对虚数单位 $i$ 进行各种数学运算，包括平方根、幂、对数和三角函数。以下运算除特殊说明外，均为与 $i$ 有关的多值函数，在实际应用时必须指明函数的定义选择在黎曼面的哪一支。下面列出的仅仅是最常采用的黎曼面分支的计算结果。

基本运算与幂循环

虚数单位 $i$ 的整数幂遵循一个周期为4的循环：

\begin{matrix} i^{1} & = i, \\ i^{2} & = - 1, \\ i^{3} & = - i, \\ i^{4} & = 1, \end{matrix}

一般地，对任意整数 $n$ ，有：

i^{n} = i^{n mod 4}

其中 $mod 4$ 表示被4除的余数。

平方根

$i$ 的平方根为：

\sqrt{i} = \pm (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)

使用算术平方根符号表示其主值：

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i)

其解法為先假設兩實數 $x$ 及 $y$ ，使得 $(x + i y)^{2} = i$ ，然后求解 $x, y$ 。^[1]

一般幂运算

利用欧拉公式 $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ ，可以将虚数单位表示为指数形式：

i = e^{i (\frac{π}{2} + 2 k π)}

，其中

k \in ℤ

为任意整数。

由此可推导出更一般的幂运算公式。设 $a, b, c \in ℝ$ ，且 $a > 0$ ，则有：

以 $i$ 为指数的幂（实数的虚数次幂）：

a^{i} = e^{i \ln a} = \cos (\ln a) + i \sin (\ln a)

这是一个模为1的复数，其几何意义是在复平面上将点1旋转 $\ln a$ 弧度。

以虚数为指数的幂（实数底数的纯虚数次幂）：

a^{b i} = e^{b i \ln a} = \cos (b \ln a) + i \sin (b \ln a)

复数的复数次幂（最一般的情况）：

a^{b + c i} = a^{b} \cdot a^{c i} = a^{b} [\cos (c \ln a) + i \sin (c \ln a)]

此公式清晰地分离了结果在复平面上的**伸缩因子** $a^{b}$ 和**旋转因子** $a^{c i}$ 。

最为人熟知的特例： $i$ 的 $i$ 次幂

i^{i} = {[e^{i (\frac{π}{2} + 2 k π)}]}^{i} = e^{i^{2} (\frac{π}{2} + 2 k π)} = e^{- (\frac{π}{2} + 2 k π)}

，

k \in ℤ

代入不同的 $k$ 值，可計算出無限多的解。当 $k = 0$ 時，得到其主值 $e^{- \frac{π}{2}} \approx$ 0.207879576...^[2]

对数

以 $i$ 为底的对数：

对于正实数 $x > 0$ ，有：

\log_{i} x = \frac{2 \ln x}{i π} = - i \cdot \frac{2 \ln x}{π}

（取主值）

更一般地，对于正实数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，以 $i$ 为底的对数可由换底公式导出：

\log_{i} a = \frac{\ln a}{\ln i} = \frac{\ln a}{i (\frac{π}{2} + 2 k π)} = - i \cdot \frac{2 \ln a}{(4 k + 1) π}

，

k \in ℤ

。

这是一个纯虚数，且由于 $\ln i$ 的多值性，其结果也有无穷多个值。

三角与双曲函数

以下恒等式揭示了虚数单位如何联系三角函数与双曲函数，这是欧拉公式的直接推论。对于实数 $x$ ：

\begin{matrix} \cos (i x) & = \cosh x \\ \sin (i x) & = i \sinh x \\ \tan (i x) & = i \tanh x \end{matrix}

这些公式表明，对虚自变量的三角函数求值，会转化为实自变量的双曲函数。

作为直接应用，可以计算：

\cos i = \cosh 1 = \frac{e + \frac{1}{e}}{2} = \frac{e^{2} + 1}{2 e} \approx 1.54308064...

\sin i = i \sinh 1 = \frac{e - \frac{1}{e}}{2} i = \frac{e^{2} - 1}{2 e} i \approx (1.17520119...) i

在程式語言

大部分的程式語言都不提供虛數單位，且平方根函數(大多為sqrt()或Math.Sqrt())的引數不可以是負數，因此，必須自行建立類別後方可使用。
但Lisp的许多实现与方言，如Common Lisp，内建虚数和複數的支持。不少动态语言受其影响，也在语言本身或标准库中支持虚数和複數，如Python、Ruby。
一些传统编程语言，如C语言，也从C99开始支持虚数和複數。
在Matlab，虛數單位的表示方法為i或j，但i和j在for迴圈可以有其他用途。
在Mathematica，虛數單位的表示方法為I、𝕚或𝕛。
在Maple，必須啟用虛數功能，並選擇用i還是j表示虛數單位。
Go語言於第 1.0 版就内建虚数和複數的支持，變數類型為 complex64和complex128^[3]。

代码示例

以下是一些编程语言中定义虚数单位 $i$ 及进行基本复数运算的方法：

编程语言示例代码 (定义虚数单位与基础运算) 备注与输出示例

Python

# 虚数单位用后缀 j 表示
i = 1j
print(f"虚数单位 i = {i}")
print(f"i 的平方 i² = {i ** 2}")
# 输出：虚数单位 i = 1j
# 输出：i 的平方 i² = (-1+0j)

# 复数构造与运算
z1 = 3 + 4j    # 复数字面量
z2 = complex(1, -2)  # complex(实部, 虚部) 函数
print(f"复数 z1 = {z1}")
print(f"复数 z2 = {z2}")
print(f"z1 + z2 = {z1 + z2}")  # 加法：(4+2j)
print(f"z1 * z2 = {z1 * z2}")  # 乘法：(11-2j)

# 使用 cmath 模块进行更多运算
import cmath
print(f"e^(i*π) = {cmath.exp(1j * cmath.pi)}")  # 欧拉公式，近似 (-1+1.2246467991473532e-16j)

* Python 原生支持复数类型，属于 complex 类。

虚部使用后缀 j 或 J 表示。
可用 real 和 imag 属性获取实部与虚部。
cmath 模块提供复变函数。

C语言 (C99标准)

#include <complex.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
    // 宏 I 表示虚数单位 i
    double complex i = I;
    double complex z1 = 3.0 + 4.0 * I;
    double complex z2 = 1.0 - 2.0 * I;

    // 基本运算
    double complex i_squared = i * i;
    double complex sum = z1 + z2;
    double complex product = z1 * z2;

    // 输出结果，creal()和cimag()分别提取实部和虚部
    printf("i² = %.2f %+.2fi\n", creal(i_squared), cimag(i_squared));
    // 输出：i² = -1.00 +0.00i
    printf("z1 + z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(sum), cimag(sum));
    // 输出：z1 + z2 = 4.00 +2.00i
    printf("z1 * z2 = %.2f %+.2fi\n", creal(product), cimag(product));
    // 输出：z1 * z2 = 11.00 -2.00i

    return 0;
}

* 需包含 <complex.h> 头文件，并使用标准宏 I 表示虚数单位。

复数类型为 double complex、float complex 等。
运算符号（+, *, -）与普通算术一致。
使用 creal() 和 cimag() 函数提取复数的实部与虚部。
编译时需支持C99标准（如使用 gcc -std=c99）。

註解

^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.
^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.
^ Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

参见

参考文献

Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部链接

[1] University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? （页面存档备份，存于互联网档案馆） URL retrieved March 26, 2007.

[2] "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

[3] Rob Pike. Constants. The Go Blog. 2014-08-25 [2022-05-27]. （原始内容存档于2022-06-28）.

[1]

[2]

[3]

高斯整數導航
			↑
			$2 i$
		$-1+ i$	$i$	$1+ i$
←	−2	−1	0	1	2	→
		$-1- i$	$- i$	$1- i$
			$-2 i$
			↓

各式各樣的数
數系
$ℕ \subseteq ℤ \subseteq ℚ \subseteq ℝ \subseteq ℂ$
基本
複數 $ℂ$ 虚数 $𝕀$ 代數數 $𝔸$ 超越數高斯整數 $ℤ [i]$ 艾森斯坦整数 $ℤ [ω]$
实数 $ℝ$ 正數 $ℝ^{+}$ 负数 $ℝ^{-}$ 無理數二次無理數小数有限小数无限小数循環小數
有理数 $ℚ$ （分數）單位分數二進分數
整数 $ℤ$ 正整數 $ℤ^{+}$ 零 $0$ 負整數 $ℤ^{-}$ 自然数 $ℕ$ 质数 $ℙ$ 合數
延伸
$ℂ$ 的延伸超复数雙複數 $ℂ_{2}$ 複四元數 $ℍ (ℂ)$ 共四元數（英语：Dual quaternion）
$ℝ$ 的延伸二元数 $𝔻$ 四元數 $ℍ$ 八元数 $𝕆$ 十六元數 $𝕊$ 超實數 $^{*} ℝ$ 上超實數（英语：Superreal number）超現實數雙曲複數
其他類別與概念
規矩數整數數列序数基數超限数 ℵ ℶ 可定义数可計算數同餘 $p$ 進數
数学常数
圓周率 $π$ 自然常數 $e$ 虛數單位 $i$ 無窮大 $\infty$
查论编

定義

補充定义

代数定义

作为有序对

i和-i

正当的使用

与主平方根的关系

i的运算

基本运算与幂循环

平方根

一般幂运算

对数

三角与双曲函数

在程式語言

代码示例

註解

参见

参考文献

外部链接

$i$ 和 $- i$