貝特數

貝特數（英語：beth number，/bɛθ/）或稱貝斯數、貝茲數，是數學中，尤其是集合論中的一系列超限基數，表示為希伯來字母ℶ加上下標。貝特數與阿列夫數ℵ相關，兩者皆常被用以標記基數，不過與後者不同，唯有在承認廣義連續統假設下，才能使每一個無窮集合的基數對應到一個貝特數。

定義

貝特數可利用超限歸納法定義：

• ${\beth }_0=|\mathbb{N}|={\mathrm{\aleph }}_0$；
• ${\beth }_{\alpha +1}=2^{{\beth }_{\alpha }}$；
• ${\beth }_{\lambda }=sup\{{\beth }_{\alpha }:\alpha <\lambda \}$；

其中$||$表示為集合的基數，$\alpha$表示序數，$\lambda$表示極限序數。

在連續統假設下，阿列夫数與 ℶ 數等價：

• 可數集（如自然數集）的基數標記爲${\beth }_0$，下一個 ℶ 數被定義爲上一個 ℶ 數的冪集的基數，卽：

${\beth }_0:=\mathrm{card}\left(\mathbb{N}\right)$

${\beth }_1:=2^{{\beth }_0}=\mathrm{card}\left(P\left(\mathbb{N}\right)\right)$

${\beth }_2:=2^{{\beth }_1}=\mathrm{card}(P(P(\mathbb{N})))$

${\beth }_3:=2^{{\beth }_2}=\mathrm{card}(P(P(P(\mathbb{N}))))$

等等

相關表示法

有時實數集的基數${\beth }_1$會被記為$𝔠$或$\mathrm{\aleph }$，即：$\mathrm{\aleph }=𝔠={\beth }_1$。此時，連續統假設可以被表述為$\mathrm{\aleph }={\mathrm{\aleph }}_1$，然此寫法較容易造成誤解。

定理

對任意的 α 有${\beth }_{\alpha }⩾{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$，而連續統假設卽爲${\beth }_1={\mathrm{\aleph }}_1$乃至${\beth }_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$。

對 α = 1 的情況，證明分兩步：一、ℵ₀ 和 ℵ₁ 之間無其他任何基數；二、ℶ₁ 比 ℶ₀ 大（card(2^X) > card(X)）。

示例

貝特零

基數為${\beth }_0$的集合，也就是可數無限集，包括但不限於：

• 自然數的集合$\mathbb{N}$；
• 有理數的集合$\mathbb{Q}$；
• 代數數的集合$𝔸$；
• 可計算數的集合或可計算集；
• 所有有限整數序列的集合。

貝特一

参见：連續統的勢

基數為${\beth }_1$的集合，其等勢於實數集，包括但不限於：

• 超越數的集合；
• 無理數的集合；
• 實數的集合$ℝ$；
• 複數的集合$ℂ$；
• 不可計算數的集合；
• 歐幾里得空間${ℝ}^n$；
• 自然數的冪集$𝒫(\mathbb{N})$；
• 實數的有限子集的集合；
• 所有整數序列的集合${\mathbb{Z}}^{\mathbb{N}}$；
• 所有實數序列的集合${ℝ}^{\mathbb{N}}$；
• 所有$\mathbb{N}\to \mathbb{N}$的函數的集合；
• 所有$ℝ\to ℝ$的解析函數的集合；
• 所有$ℝ\to ℝ$的連續函數的集合；
• 所有$ℝ\to ℝ$且不連續點可數的函數的集合；
• 所有$ℂ\to ℂ$的解析函數（全純函數）的集合。

貝特二

基數為${\beth }_2$的集合包括但不限於：

• 實數的冪集$𝒫(ℝ)$；
• 自然數的冪集的冪集$𝒫(𝒫(\mathbb{N}))$；
• 所有$ℝ\to ℝ$的函數的集合${ℝ}^{ℝ}$；
• 所有${ℝ}^m\to {ℝ}^n$的函數的集合；
• 所有${ℝ}^m\to {ℝ}^n$且不連續點不可數的函數的集合；
• $\mathbb{N}$、$\mathbb{Q}$和$ℝ$的斯通-切赫緊化。

其他

${\beth }_{\omega }$是最小的不可數強極限基數，其中$\omega$是最小的超限序數。

一般化

對於基數$\kappa$與序數$\alpha$，在承認選擇公理下，可以定義更廣義的${\beth }_{\alpha }(\kappa )$符號：

• ${\beth }_0(\kappa )=\kappa$；
• ${\beth }_{\alpha +1}(\kappa )=2^{{\beth }_{\alpha }(\kappa )}$；
• ${\beth }_{\lambda }(\kappa )=sup\{{\beth }_{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}$，$\lambda$為極限序數。

可以看出${\beth }_{\alpha }={\beth }_{\alpha }({\mathrm{\aleph }}_0)$。

參見

• 勢 (數學)
• 不可數集
• 序數算術
• 連續統假設
• 康托尔-伯恩斯坦-施罗德定理