Γ函数

$\mathrm{\Gamma }$函數在实数域上的函數圖形。

此條目介紹的是擴展自階乘$x!$的數學函數$\mathrm{\Gamma }$。关于統計學分布，请见「伽瑪分布」。

伽瑪函數（英語：gamma function；記作$\mathrm{\Gamma }$）是數學中將階乘函數解析延拓至實數域或複數域後，所得的函數。對於定義域中的複數$z$，伽瑪函數滿足遞迴關係： $$\mathrm{\Gamma }(z+1)=z\mathrm{\Gamma }(z).$$ 更進一步，對於正整數$n$，其函數值滿足$\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$。

形式上，伽瑪函數可定義為以下瑕積分： $$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$$ 不過，積分結果只有當$z$的實部$\mathrm{\Re }(z)>0$時收斂。因此，須再經由遞迴關係進行解析延拓，以求出其餘複數的函數值（除了零與負整數）。

定義

$\mathrm{\Gamma }$函數可以通过欧拉（Euler）第二类积分定義：

$\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}\mathrm{t}$

对复数$z$，我们要求$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>0$。

$\mathrm{\Gamma }$函數还可以通过对${\mathrm{e}}^{-t}$做泰勒展开，解析延拓到整个复平面： $\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{z-1}}{{\mathrm{e}}^t}\mathrm{d}t+\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n!}\frac{1}{n+z}$

这样定义的$\mathrm{\Gamma }$函數在全平面除了$z=0,-1,-2,\dots$以外的地方解析。

$\mathrm{\Gamma }$函數也可以用无穷乘积的方式表示：

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{(1+\frac{1}{n})}^z$

这说明$\mathrm{\Gamma }(z)$是亚纯函数，而$\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z)}$是全纯函数。

历史動機

Γ函數本身可以被看作是一個下列插值問題的解：

『找到一個光滑曲線連接那些由 $y=(x-1)!$ 所給定的點$(x,y)$，並要求$x$要為正整數』

由前幾個的階乘清楚地表明這樣的曲線是可以被畫出來的，但是我們更希望有一個精確的公式去描述這個曲線，並讓階乘的操作不會依賴於$x$值的大小。而最簡單的階乘公式 $x!=1\times 2\times \cdots \times x$ 不能直接應用在$x$值為分数的時候，因為它被限定在$x$值為正整數而已。相對而言，并不存在一個有限的關於加總、乘積、冪次、指數函數或是對數函數可以表達 $x!$，但是是有一個普遍的公式藉由微積分的積分與極限去表達階乘的，而 Γ函數就是那個公式。

階乘有無限多種的連續擴張方式將定義域擴張到非整數：可以通過任何一組孤立點畫出無限多的曲線。Γ函數是實務上最好的一個選擇，因為是解析的(除了非正整數點)，而且它可以被定義成很多種等價形式。然而，它並不是唯一一個擴張階乘意義的解析函數，只要給予任何解析函數，其在正整數上為零，像是 $k\sin (m\pi x)$，會給出其他函數有著階乘性質。

無窮乘積

$\mathrm{\Gamma }$函數可以用無窮乘積表示：

$\mathrm{\Gamma }(z)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n!n^z\prod _{k=0}^n(z+k{)}^{-1}$

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{{\mathrm{e}}^{-\gamma z}}{z}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(1+\frac{z}{n})}^{-1}{\mathrm{e}}^{\frac{z}{n}}$

其中$\gamma$是欧拉-马歇罗尼常数。

Γ積分

$1={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{\alpha -1}{\lambda }^{\alpha }{\mathrm{e}}^{-\lambda x}}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\mathrm{d}x$

$⟹\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\lambda }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}{\mathrm{e}}^{-\lambda x}\mathrm{d}x$

递推公式

$\mathrm{\Gamma }$函数的递推公式为： $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$，

对于正整数$n$，有

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n!$，

可以说$\mathrm{\Gamma }$函数是階乘的推廣。

递推公式的推导

$\mathrm{\Gamma }(n+1)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n+1-1}\mathrm{d}x={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\mathrm{d}x$

我们用分部积分法来计算这个积分：

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^n\mathrm{d}x={\left[\frac{-x^n}{{\mathrm{e}}^x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}+n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-x}{x}^{n-1}\mathrm{d}x$

当$x=0$时，$\frac{-0^n}{{\mathrm{e}}^0}=\frac{0}{1}=0$。当$x$趋于无穷大时，根据洛必达法则，有：

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-x^n}{{\mathrm{e}}^x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-n!\cdot 0}{{\mathrm{e}}^x}=0$.

因此第一项${\left[\frac{-x^n}{{\mathrm{e}}^x}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}$变成了零，所以：

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}}{{\mathrm{e}}^x}\mathrm{d}x$

等式的右面正好是$n\mathrm{\Gamma }(n)$, 因此，递推公式为：

$\mathrm{\Gamma }(n+1)=n\mathrm{\Gamma }(n)$.

重要性质

• 當$z\to 0^{+}$時，$\mathrm{\Gamma }(z)\to +\mathrm{\infty }$
• 歐拉反射公式（余元公式）：

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}(0<\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<1)$.

由此可知当$z=\frac{1}{2}$时，$\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$.

• 伽马函数还是负自然指数函数的梅林变换: $\mathrm{\Gamma }(z)=ℳ\{e^{-x}\}(z).$

• 乘法定理：

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z}\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(2z)$。

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(z+\frac{1}{m})\mathrm{\Gamma }(z+\frac{2}{m})\cdots \mathrm{\Gamma }(z+\frac{m-1}{m})=(2\pi {)}^{\frac{m-1}{2}}{m}^{\frac{1}{2}-mz}\mathrm{\Gamma }(mz)$.

• 此外：

$\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})=\frac{(2n)!\sqrt{\pi }}{n!4^n}$.

• 使用乘法定理推導的關係：

$\mathrm{\Gamma }(1/6)=\mathrm{\Gamma }(1/3{)}^2/\sqrt{\pi }\ast 2^{2/3}\ast \sin (\pi /3).$

$\mathrm{\Gamma }(5/6)=1/\mathrm{\Gamma }(1/3{)}^2\ast {\sqrt{\pi }}^3\ast 2^{4/3}/\sqrt{3}.$

$\mathrm{\Gamma }(1/10)=\mathrm{\Gamma }(1/5)\ast \mathrm{\Gamma }(2/5)/\sqrt{\pi }\ast 2^{4/5}\ast \sin (2\ast \pi /5).$

$\mathrm{\Gamma }(3/10)=\mathrm{\Gamma }(1/5)/\mathrm{\Gamma }(2/5)\ast \sqrt{\pi }/2^{3/5}/\sin (3\ast \pi /10).$

$\mathrm{\Gamma }(7/10)=\mathrm{\Gamma }(2/5)/\mathrm{\Gamma }(1/5)\ast \sqrt{\pi }\ast 2^{3/5}.$

$\mathrm{\Gamma }(9/10)=1/(\mathrm{\Gamma }(1/5)\ast \mathrm{\Gamma }(2/5))\ast {\sqrt{\pi }}^3/2^{4/5}/(\sin (\pi /10)\ast \sin (2\ast \pi /5)).$

此式可用來協助計算t分布機率密度函數、卡方分布機率密度函數、F分布機率密度函數等的累計機率。

• 極限性質

對任何實數α

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha )}{\mathrm{\Gamma }(n)n^{\alpha }}=1,\alpha \in 𝐑$

斯特靈公式

Γ函數與斯特靈公式

xy圖例$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.81): 4.85$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.8): 4.56$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.79): 4.27$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.77): 3.99$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.75): 3.7$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.74): 3.42$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.71): 3.13$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.69): 2.86$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.65): 2.58$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.62): 2.31$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.57): 2.05$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.51): 1.81$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.44): 1.59$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.36): 1.4$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.27): 1.25$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.17): 1.13$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (-0.07): 1.05$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.03): 0.98$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.14): 0.94$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.24): 0.91$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.35): 0.89$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.46): 0.89$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.56): 0.89$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.67): 0.9$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.77): 0.92$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.88): 0.96$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (0.99): 0.99$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.09): 1.04$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.19): 1.1$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.3): 1.17$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.4): 1.24$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.5): 1.33$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.6): 1.43$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.7): 1.54$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.8): 1.67$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.89): 1.81$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (1.98): 1.96$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.07): 2.13$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.15): 2.31$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.23): 2.5$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.31): 2.7$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.38): 2.91$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.45): 3.13$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.51): 3.37$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.57): 3.6$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.63): 3.85$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.68): 4.1$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.74): 4.35$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.78): 4.61$\mathrm{\Gamma }(z+1)$ (2.83): 4.87$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.02): 0.33$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.06): 0.49$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.12): 0.59$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.18): 0.66$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.25): 0.69$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.32): 0.72$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.39): 0.74$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.46): 0.75$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.54): 0.77$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.61): 0.79$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.68): 0.8$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.75): 0.83$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.82): 0.85$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.89): 0.87$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (0.96): 0.9$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.03): 0.93$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.1): 0.97$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.16): 1.01$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.23): 1.05$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.3): 1.1$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.37): 1.15$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.44): 1.2$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.51): 1.26$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.57): 1.33$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.64): 1.4$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.7): 1.47$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.77): 1.56$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.83): 1.64$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.89): 1.74$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (1.95): 1.84$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.01): 1.94$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.07): 2.05$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.13): 2.17$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.18): 2.29$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.23): 2.42$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.29): 2.55$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.33): 2.69$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.38): 2.83$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.43): 2.97$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.47): 3.12$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.52): 3.27$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.56): 3.43$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.6): 3.59$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.64): 3.75$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.67): 3.92$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.71): 4.08$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.74): 4.25$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.78): 4.42$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.81): 4.6$\left(2\pi x\right){(x/e)}^x$ (2.84): 4.77

$\mathrm{\Gamma }(z+1)$（藍色）、$\sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z$（橘色），數字越大$\sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z,$會越趨近$\mathrm{\Gamma }(z+1)$。但$\sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z$會在負值則會因為出現虛數而無法使用。

主条目：斯特靈公式

斯特靈公式能用以估計$\mathrm{\Gamma }(z)$函数的增長速度。公式為：

$\mathrm{\Gamma }(z+1)\sim \sqrt{2\pi z}{\left(\frac{z}{e}\right)}^z,$

其中e約等於2.718281828459。

特殊值

$\begin{array}{ccccc}\mathrm{\Gamma }(-\frac{3}{2})& =& \frac{4}{3}\sqrt{\pi }& \approx & 2.363271801207\\ \mathrm{\Gamma }(-\frac{1}{2})& =& -2\sqrt{\pi }& \approx & -3.544907701811\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)& =& \sqrt{\pi }& \approx & 1.772453850906\\ \mathrm{\Gamma }(1)& =& 0!& =& 1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{3}{2}\right)& =& \frac{1}{2}\sqrt{\pi }& \approx & 0.886226925453\\ \mathrm{\Gamma }(2)& =& 1!& =& 1\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{5}{2}\right)& =& \frac{3}{4}\sqrt{\pi }& \approx & 1.329340388179\\ \mathrm{\Gamma }(3)& =& 2!& =& 2\\ \mathrm{\Gamma }\left(\frac{7}{2}\right)& =& \frac{15}{8}\sqrt{\pi }& \approx & 3.323350970448\\ \mathrm{\Gamma }(4)& =& 3!& =& 6\end{array}$

连分数表示

伽马函数也可以在复数域表示为两个连分数之和：

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{e^{-1}}{2+0-z+1\frac{z-1}{2+2-z+2\frac{z-2}{2+4-z+3\frac{z-3}{2+6-z+4\frac{z-4}{2+8-z+5\frac{z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}+\frac{e^{-1}}{z+0-\frac{z+0}{z+1+\frac{1}{z+2-\frac{z+1}{z+3+\frac{2}{z+4-\frac{z+2}{z+5+\frac{3}{z+6-\ddots }}}}}}}$

导数

Γ函數的微分

xy圖例$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.98): 30.23$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.98): 22.79$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.97): 18.29$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.95): 10.96$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.87): 4.31$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.54): 2.32$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.21): 4.67$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.09): 11.24$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.05): 18.12$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.04): 24.83$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.03): 31.37$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.03): 37.17$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.02): 45.56$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1.01): 50$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): 50$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): 50$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): 50$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-1): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.99): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.99): -20$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.93): -15.12$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.87): -8.21$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.61): -3.75$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.27): -4.68$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.1): -10.72$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (-0.06): -17.65$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.02): 50$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.03): 39.18$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.03): 31.1$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.04): 23.82$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.06): 17.15$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.09): 10.11$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.24): 3.8$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.57): 1.55$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (0.93): 1.05$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (1.29): 0.9$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (1.65): 0.9$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (2): 1$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (2.36): 1.21$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (2.72): 1.57$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (3.07): 2.14$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (3.43): 3.08$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (3.78): 4.58$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (4.12): 6.95$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (4.43): 10.49$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (4.69): 15.25$\mathrm{\Gamma }\left(x\right)$ (4.91): 20.93${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.85): -19.81${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.82): -14.08${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.78): -8.45${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.68): -3.05${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.51): 1.47${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.36): 6.28${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.27): 11.75${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.23): 17.42${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.2): 23.12${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.18): 28.71${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.17): 34.37${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.16): 40.05${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.14): 46.48${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-1.05): 50${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.86): 50${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.85): 41.95${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.84): 36.42${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.82): 30.68${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.81): 24.91${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.78): 19.27${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.75): 13.56${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.69): 7.98${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.58): 2.67${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.44): -2.23${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.32): -7.48${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.26): -13.04${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (-0.22): -18.79${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.03): -20${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.23): -17.94${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.28): -12.32${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.37): -6.9${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.56): -2.74${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (0.83): -1.03${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (1.11): -0.39${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (1.4): -0.06${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (1.68): 0.18${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (1.97): 0.4${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (2.26): 0.66${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (2.54): 0.99${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (2.83): 1.46${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (3.11): 2.15${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (3.39): 3.16${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (3.67): 4.66${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (3.93): 6.84${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.18): 9.84${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.39): 13.65${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.57): 18.09${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.72): 22.97${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.85): 28.12${\left(\mathrm{\Gamma }\left(x\right)\right)}^{\prime }$ (4.95): 33.44

Γ函數（藍色）、Γ函數的微分（橘色），其中，大於50與小於-20的部分被截掉。

對任何複數z，滿足 Re(z) > 0，有

$\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{z}^n}\mathrm{\Gamma }(z)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}(\ln t{)}^{n}dt$

於是，對任何正整數 m

${\mathrm{\Gamma }}^{\prime }(m+1)=m!(-\gamma +\sum _{k=1}^m\frac{1}{k})$

其中γ是歐拉-馬歇羅尼常數。

复数值

$\mathrm{\Gamma }(x+\mathrm{i}y)=\{{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{x-1}}{{\mathrm{e}}^t}\cos (y\ln t)\mathrm{d}t+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}\left[\frac{k+x}{(k+x{)}^2+y^2}\right]\}+\mathrm{i}\{{\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{t^{x-1}}{{\mathrm{e}}^t}\sin (y\ln t)\mathrm{d}t-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!}\left[\frac{y}{(k+x{)}^2+y^2}\right]\}$

解析延拓

Γ函數的絕對值函數圖形

注意到在$\mathrm{\Gamma }$函數的積分定義中若取$z$為實部大於零之複數、則積分存在，而且在右半複平面上定義一個全純函數。利用函數方程

$\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\frac{\pi }{\sin \pi z}(0<\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<1)$

並注意到函數$\sin (\pi z)$在整個複平面上有解析延拓，我們可以在$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)<1$時設

$\mathrm{\Gamma }(z)=\frac{\pi }{\mathrm{\Gamma }(1-z)\sin \pi z}$

從而將$\mathrm{\Gamma }$函數延拓為整個複平面上的亞純函數，它在$z=0,-1,-2,-3\cdots$有單極點，留數為

$\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{s}(\mathrm{\Gamma },-n)=\frac{(-1{)}^n}{n!}.$

程式實現

許多程式語言或試算表軟體有提供Γ函数或對數的Γ函数，例如EXCEL。而對數的Γ函数還要再取一次自然指數才能獲得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP[GAMMALN(X)]，即可求得任意實数的伽玛函数的值。

• 例如在EXCEL中：EXP[GAMMALN(4/3)]=0.89297951156925

而在沒有提供Γ函数的程式環境中，也能夠過泰勒級數或斯特靈公式等方式來近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十進制可獲得有效數字八位數的精確度，已足以填滿單精度浮點數的二進制有效數字24位：

$\mathrm{\Gamma }(z)\approx \sqrt{\frac{2\pi }{z}}{\left(\frac{z}{e}\sqrt{z\sinh \frac{1}{z}+\frac{1}{810z^6}}\right)}^z$

参见

• 双伽玛函数
• 多伽玛函数
• 倒數伽瑪函數
• 反伽瑪函數
• 伽玛分布
• B函數

外部链接

• 神奇的Gamma函数(上)
• 神奇的Gamma函数(下)