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函數是一種將一個集合（定義域）中的元素惟一地映射到另一個集合（到達域）中的元素的關係；在本文中，如無特殊說明，函數的定義域均為整個複平面或其子集（一元函數）或它所組成的n-元組（多元函數）。

如果一個關系所對應的映射不惟一，這關係建立一個多值函數；多值函數可以通過支割線被修正為一個函數。

函數可以根據其性質被分為初等函數和特殊函數。初等函數可以通過微分代數的擴張塔定義，是對微分封閉的一個微分域；而特殊函數往往是在數學或物理中具有特殊意義從而被定義的函數。本文將探討部分常見函數的定義和性質。

經典常數

數學常數是一個有良好定義而有深刻價值的實數。

阿培里常數

阿培里常數可以由黎曼zeta函數定義。

$\zeta (3)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}$

阿培里在1979年證明了阿培里常數是一個無理數，儘管尚未得知阿培里常數是否是一個超越數。

卡塔蘭常數

卡塔蘭常數一般由狄利克雷beta-函數或勒讓德chi-函數定義。

$K\equiv \beta (2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^2}$

$K=-i{\chi }_2(i)=-i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^{2k+1}}{(2k+1{)}^2}$

尚未得知如果卡塔蘭常數是一個無理數。

提洛常數

提洛常數是2的立方根，出現在倍立方問題中。提洛常數不是一個歐幾里得數，儘管提洛常數是一個三次代數數。

$2^{1/3}=\sqrt[3]{2}$

歐拉-馬斯刻若尼常數

歐拉-馬斯刻若尼常數$\gamma$被定義為一個極限

$\gamma \equiv \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{H}_k-\ln k$

儘管這個常數有一系列極限或積分定義，一個封閉形式可能不存在。

辛欽常數

$K=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{[1+\frac{1}{k(k+2)}]}^{{\log }_2(k)}$

畢達哥拉斯常數

畢達哥拉斯常數是2的平方根，被畢達哥拉斯常數證明為無理數。

$\sqrt{2}$

貝索函數

一系列被統稱為貝索函數的函數是一系列特殊微分方程的無法被初等函數表示的解函數。

貝索函數

更嚴格的「貝索函數」指由兩個線性無關的函數給出的貝塞爾方程的通解，而修正函數即是虛宗量的貝索函數。其中諾伊曼函數又稱第二類貝索函數，而貝索函數又稱第一類貝索函數。其中，諾伊曼函數在整數點處必須通過極限或更複雜的級數定義。

• 貝索函數

$J_{\nu }(z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)k!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +2k}$

• 諾伊曼函數

$Y_{\nu }(z)\equiv \frac{J_{\nu }(z)\cos (\nu \pi )-J_{-\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}/;\nu \notin \mathbb{Z}$

$Y_{\nu }(z)\equiv -\frac{{(z/2)}^{-\nu }}{\pi }\sum _{k=0}^{\nu -1}\frac{(\nu -k-1)!}{k!}{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k+\frac{2}{\pi }\ln (\frac{z}{2})J_{\nu }(z)-\frac{{(z/2)}^{\nu }}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[{\psi }_0(\nu +k+1)+{\psi }_0(k+1)]\frac{{(-z^2/4)}^k}{(\nu +k)!k!}/;\nu \in \mathbb{Z}$

• 修正貝索函數

$I_{\nu }(z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)k!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +2k}$

• 修正諾伊曼函數

$K_{\nu }(z)\equiv \frac{\pi }{2}\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )};\nu \notin \mathbb{Z}$

$K_{\nu }(z)\equiv \frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{-\nu }\sum _{k=0}^{\nu -1}\frac{(\nu -k-1)!}{k!}{(-\frac{z^2}{4})}^k+(-1{)}^{\nu +1}\ln (\frac{z}{2})I_{\nu }(z)+(-1{)}^{\nu }\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[{\psi }_0(\nu +k+1)+{\psi }_0(k+1)]\frac{(z^2/4{)}^k}{(\nu +k)!k!}/;\nu \in \mathbb{Z}$

漢克爾函數

漢克爾函數是貝塞爾方程另一對的通解，又被稱為第三類貝索函數。

• 漢克爾函數H^(1)_n(z)
• 諾伊曼函數H^(2)_n(z)

球貝索函數

一般的貝索函數是在圓柱坐標上求解拉普拉斯方程發現的，在球坐標下，另有四個球貝索函數。

• 球貝索函數J_n(z)
• 球諾伊曼函數Y_n(z)
• 球漢克爾函數H^(1)_n(z)
• 球漢克爾函數H^(2)_n(z)

艾里函數

艾里函數Ai和Bi是齊次艾里方程（又稱斯托克斯方程）$y^{″}-xy=0$的一對線性無關的通解，是複平面上的全純函數。被特別稱為Scorer函數的函數Gi和Hi也是方程的線性無關解，不過是在解被稱為Scorer方程的非齊次方程$y^{″}-xy=\pm 1/\pi$時出現的，相對來說不常見。艾里函數一般由合流超幾何極限函數定義，這也提供了一種定義其導數的方法。

艾里函數

艾里函數$\mathrm{Ai}(z)$

$\mathrm{Ai}(z)\equiv \frac{1}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;2/3;z^3/9)-\frac{z}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;4/3;z^3/9)$

艾里函數$\mathrm{Bi}(z)$

$\mathrm{Bi}(z)\equiv \frac{1}{3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;2/3;z^3/9)-\frac{3^{1/6}z}{\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;4/3;z^3/9)$

艾里函數的導數${\mathrm{Ai}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Ai}}^{\prime }(z)\equiv \frac{\partial }{\partial z}\mathrm{Ai}(z)=\frac{z^2}{2\cdot 3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;5/3;z^3/9)-\frac{1}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;1/3;z^3/9)$

艾里函數的導數${\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{\partial }{\partial z}\mathrm{Bi}(z)=\frac{z^2}{2\cdot 3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;5/3;z^3/9)-\frac{3^{1/6}}{\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;1/3;z^3/9)$

Scorer函數

Scorer函數$\mathrm{Gi}(z)$

$\mathrm{Gi}(z)\equiv \frac{1}{3}\mathrm{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

Scorer函數$\mathrm{Hi}(z)$

$\mathrm{Hi}(z)\equiv \frac{2}{3}\mathrm{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

Scorer函數的導數${\mathrm{Gi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Gi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{1}{3}{\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)-\frac{z}{\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)-\frac{3z^4}{40\pi }{}_1{F}_2(2;7/3,8/3;z^3/9)$

Scorer函數的導數${\mathrm{Hi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Hi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{2}{3}{\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)+\frac{z}{\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)+\frac{3z^4}{40\pi }{}_1{F}_2(2;7/3,8/3;z^3/9)$

司徒盧威函數

司徒盧威函數給出非齊次的貝塞爾方程的解。

• 司徒盧威函數H_v(z)
• 修正司徒盧威函數L_v(z)

開爾文函數

開爾文函數進一步由貝索函數和諾伊曼函數定義，分別給出其實部和虛部。 開爾文函數滿足恆等式

$J_{\nu }(z\exp (3\pi i/4))={\mathrm{ber}}_{\nu }(z)+i{\mathrm{bei}}_{\nu }(z)$

$\exp (-\nu \pi i/2)K_{\nu }(z\exp (\pi i/4))={\ker }_{\nu }(z)+i{\mathrm{kei}}_{\nu }(z)$

使得

開爾文函數ber_v(z)

${\mathrm{ber}}_{\nu }(z)\equiv \mathrm{\Re }{J}_{\nu }(z\exp (3\pi i/4))=(z/2{)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((3\nu /4+k/2)\pi )}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)}\frac{(z^2/4{)}^k}{k!}=\frac{\exp (-3i\pi \nu /4)z^{\nu }}{2\cdot ((-1{)}^{1/4}z{)}^{\nu }}(\exp (2\pi i\nu /2)I_{\nu }((-1{)}^{1/4}z)+J_{\nu }((-1{)}^{1/4}z))$

• 開爾文函數bei_v(z)
• 開爾文函數ker_v(z)
• 開爾文函數kei_v(z)

歐拉積分

共有兩類歐拉積分。第一類歐拉積分給出貝塔函數，第二類歐拉積分給出伽馬函數，後者是階乘在複數域上的解析延拓，是非常重要的亞純函數，並且有多種推廣。

伽馬函數

通過更換歐拉積分的積分上下界，可以定義不完全的伽馬函數。

完全伽馬函數

伽馬函數$\mathrm{\Gamma }(z)$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& \equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\exp (-t)dt/;\mathrm{\Re }z>0\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\exp (-t)dt+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!(k+z)}\end{array}$

不完全伽馬函數

上不完全伽馬函數$\mathrm{\Gamma }(a,z)$

$\mathrm{\Gamma }(a,z)\equiv {\int }_z^{\mathrm{\infty }}{t}^{a-1}\exp (-t)dt$

下不完全伽馬函數$\gamma (a,z)$

$\begin{array}{cc}\gamma (a,z)& \equiv {\int }_0^z{t}^{a-1}\exp (-t)dt\\ & =a^{-1}{z}^a{}_1{F}_1(a;a+1;-z);/-a\notin \mathbb{N}\end{array}$

正則伽馬函數

正則上不完全伽馬函數$Q(a,z)$

$Q(a,z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a,z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

正則下不完全伽馬函數$P(a,z)$

$P(a,z)\equiv \frac{\gamma (a,z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

多重伽馬函數

多重伽馬函數由伽馬函數的導數給出，調和數和交錯調和數及其推廣可以據此定義。

• 雙重伽馬函數psi(z)
• 多重伽馬函數psi_n(z)
• 調和數H_n
• 廣義調和數H_n,r

貝塔函數

貝塔函數最初由積分定義，但可以表示為伽馬函數之商。

貝塔函數$\mathrm{B}(a,b)$

$\mathrm{B}(a,b)\equiv {\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$

不完全貝塔函數$\mathrm{B}(z;a,b)$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv {\int }_0^z{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt;/\mathrm{\Re }a>0\wedge \mathrm{\Re }b>0\wedge |z|<1$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a)z^a}{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{}_2{F}_1(a,1-b;a+1;z)/;-a\notin \mathbb{N}$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv z^a\sum _{k=0}^{b-1}\frac{(1-b{)}_k{z}^k}{(k-a)k!}/;-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv \mathrm{\infty }/;-a=0\vee (-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge \mathrm{\neg }(b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a))$

正則不完全貝塔函數$I(z;a,b)$

$I(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{B}(z;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}$

$I(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(a+1)}{z}^a{}_2{F}_1(a,1-b;a+1;z)/;-a\notin \mathbb{N}$

$I(z;a,b)\equiv \frac{(-1{)}^b(-a)!z^a}{(-a-b)!(b-1)!}\sum _{k=0}^{b-1}\frac{(1-b{)}_k{z}^k}{(k+a)k!}/;-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a$

$I(z;a,b)\equiv 1/;-a\in \mathbb{N}\wedge \mathrm{\neg }(b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a)$

誤差函數

誤差函數

• 誤差函數erf(z)
• 互補誤差函數erfc(z)
• 虛誤差函數erfi(z)

菲涅耳積分

菲涅耳積分$S(z)$

$S(z)\equiv {\int }_0^z\sin (t^2)dt=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{4k+3}}{(2k+1)!(4k+3)}$

菲涅耳積分$C(z)$

$C(z)\equiv {\int }_0^z\cos (t^2)dt=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{4k+1}}{(2k)!(4k+1)}$

指數積分

以下是一些常見的初等原函數。指數積分Ei和對數積分li是定義在實數上的函數，並且後者與拉馬努金-索德納常數有關。

指數積分Ei(x)

En指數積分E_n(z)

對數積分li(x)

三角積分

正弦積分$\mathrm{Si}(z)$

$\mathrm{Si}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{\sin (t)}{t}dt$

正弦積分$\mathrm{si}(z)$

$\mathrm{si}(z)\equiv -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t}dt=\mathrm{Si}(z)-\frac{\pi }{2}$

餘弦積分$\mathrm{Ci}(z)$

$\mathrm{Ci}(z)\equiv -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (t)}{t}dt$

餘弦積分$\mathrm{Cin}(z)$

$\mathrm{Cin}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{1-\cos (t)}{t}dt=-\mathrm{Ci}(z)+\ln (z)+\gamma$

雙曲正弦積分$\mathrm{Shi}(z)$

$\mathrm{Shi}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{\sinh (t)}{t}dt$

雙曲餘弦積分$\mathrm{Chi}(z)$

$\mathrm{Chi}(z)\equiv \gamma +\ln (z)+{\int }_0^z\frac{\cosh (t)-1}{t}dt$

超幾何函數

超幾何函數是用冪級數定義的函數，其中冪級數的係數由若干個珀赫哈默爾符號的積和商給出，正則化的超幾何函數則使用伽馬函數代替珀赫哈默爾符號。一般的單變量超幾何函數擁有p_F_q的形式，其中p與q分別表示分子和分母中項的個數，並且根據p和q的關係決定合適的定義和解析延拓。多變量的超幾何級數的收斂格外複雜。大多數常見的函數都可以表示為超幾何函數的特殊情形。

合流超幾何函數

合流超幾何函數是高斯超幾何函數的極限情形，作為合流超幾何方程的解出現。注意0F0的超幾何函數即是冪函數，1F0的超幾何函數可以表示為特殊的冪運算，而0F1的超幾何函數可以用貝索函數，所以它們一般不作定義。作為線性獨立的微分方程的解，Kummer合流超幾何函數和Tricomi合流超幾何函數又分別被稱為第一類合流超幾何函數和第二類合流超幾何函數。

合流超幾何極限函數

${}_0{F}_1(;b;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(b{)}_{k}k!}$

合流超幾何函數

Kummer合流超幾何函數

${}_1{F}_1(a;b;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k{z}^k}{(b{)}_{k}k!}$

Tricomi合流超幾何函數

$U(a,b;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(b-1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}{z}^{1-b}{}_1{F}_1(a-b+1;2-b;z)+\frac{\mathrm{\Gamma }(1-b)}{\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}{z}^{1-b}{}_1{F}_1(a;b;z)/;b\notin \mathbb{Z}$

惠泰克超幾何函數

Whittaker超幾何函數M

${\displaystyle }$

Whittaker超幾何函數W

普通超幾何函數

對於給定的單變量超幾何函數，如果級數截斷為多項式，也即因為b_k是負整數導致分母中珀赫哈默爾符號給出0，則可以使用正則化的定義。其他時候，如果p=q，函數可以用等價的級數或積分定義；如果p=q+1，級數僅在單位圓盤內（根據給定的參數，可能包括邊界）收斂，此時通過反射公式進行線性變換的解析延拓和積分定義仍然等價；如果p>q+1，超幾何函數只能通過積分定義，因為級數只在z=0收斂。

• 高斯超幾何函數2F1(a,b;c;z)

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_k}\frac{z^k}{k!}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }(c-a-b)>0$

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(b-a)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(a-c+1{)}_k}{(a-b+1{)}_k}\frac{z^{-k}}{k!}+\frac{\mathrm{\Gamma }(a-b)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-b}}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(b{)}_k(b-c+1{)}_k}{(-a+b+1{)}_k}\frac{z^{-k}}{k!}/;|z|>1\wedge a-b\notin \mathbb{Z}$

廣義超幾何函數

• 廣義超幾何函數pFq(a_1,...a_p;b_1,...,b_q;z)
  • 廣義超幾何函數0F0 ${}_0{F}_0(;;z)=\exp (z)$
  • 廣義超幾何函數1F0 ${}_1{F}_0(a;;z)=(1-z{)}^{-a}$

多變量超幾何函數

阿佩爾超幾何函數

阿佩爾超幾何函數是一類雙變量的超幾何函數，級數收斂的範圍不相同。阿佩爾等人定義了共計四個超幾何函數。

• 阿佩爾超幾何函數F1

$F_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x|<1\wedge |y|<1$

• 阿佩爾超幾何函數F2

$F_2(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_m{\left({\gamma }^{\prime }\right)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x+y|<1$

• 阿佩爾超幾何函數F3

$F_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m{\left({\alpha }^{\prime }\right)}_n(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x|<1\wedge |y|<1$

• 阿佩爾超幾何函數F4

$F_4(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m{\left({\gamma }^{\prime }\right)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x{|}^{1/2}+|y{|}^{1/2}<1$

Horn函數

儘管阿佩爾僅定義了四個雙元超幾何函數，Horn指出二階的超幾何函數共有34個，包括14個完全的級數和20個合流的級數。以下列表列出了14個完全的Horn函數，其中前四個函數即是阿佩爾超幾何函數。

• $F_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $F_2(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ,{\gamma }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w|<1$
• $F_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $F_4(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;\sqrt{|z|}+\sqrt{|w|}<1$
• $G_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w|<1$
• $G_2(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $G_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2n-m}({\alpha }^{\prime }{)}_{2m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;27|z{|}^2|w{|}^2+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1$
• $H_1(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_{m+n}(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z||w|+2|w|-|w{|}^2<1$
• $H_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;ϵ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m(\gamma {)}_n(\delta {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;1/|w|-|z|<1$
• $H_3(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w{|}^2-|w|<0$
• $H_4(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_n}{(\gamma {)}_m(\delta {)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z|+2|w|-|w{|}^2<1$
• $H_5(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_{n-m}}{(\gamma {)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;16|z{|}^2-36|z||w|\pm (8|z|-|w|+27|z||w{|}^2)<-1$
• $H_6(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_{n-m}(\gamma {)}_n\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z||w{|}^2+|w|<1$
• $H_7(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_n(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z|+2/|s|-1/|s{|}^2<1$

以下則是20個合流的Horn函數，要小心完全的H函數和合流的H函數有可能混淆。

• ${\mathrm{\Phi }}_1(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Phi }}_2(\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Phi }}_3(\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Psi }}_1(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Psi }}_2(\alpha ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Xi }}_1(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Xi }}_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m(\alpha {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Gamma }}_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_m(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Gamma }}_2(\beta ,{\beta }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_1(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_{m+n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_3(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_4(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_5(\alpha ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_6(\alpha ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_7(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}}{(\gamma {)}_m(\delta {)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_8(\alpha ;\beta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_{n-m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_9(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_{10}(\alpha ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_{11}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_n(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$

Kampé de Fériet函數

Kampé de Fériet函數將阿佩爾超幾何函數推廣到了任意參數的情形。

• Kampé de Fériet函數F^p,r,t_q,s,u(c_p,d_q;a_r,b_s;alpha_t,beta_u;x,y)

嫪麗切拉函數

嫪麗切拉函數將阿佩爾超幾何函數推廣到了任意變量，在下述四個函數中，n代表變量數目，是正整數。如果n為2，四個函數分別退化為第二，第三，第四和第一阿佩爾超幾何函數；如果n為1，全部函數均退化為高斯超幾何函數。

嫪麗切拉n變量函數$F_A^{(n)}$

$F_A^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\left|z_1\right|+\dots +\left|z_n\right|<1$

嫪麗切拉n變量函數$F_B^{(n)}$

$F_B^{(n)}(a_1,\dots ,a_n;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a_1\right)}_{k_1}\dots {\left(a_n\right)}_{k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/max(\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

嫪麗切拉n變量函數$F_C^{(n)}$

$F_C^{(n)}(a;b;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}(b{)}_{k_1+\dots +k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\sqrt{\left|z_1\right|}+\dots +\sqrt{\left|z_n\right|}<1$

嫪麗切拉n變量函數$F_D^{(n)}$

$F_D^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a\right)}_{k_1+\dots k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/max(\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

梅耶爾G-函數

麥克羅伯特E-函數

$E(p;{\alpha }_r;{\rho }_s;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_{q+1})}{{\prod }_{k=1}^q\mathrm{\Gamma }({\rho }_k-{\alpha }_k)}\prod _{\mu =1}^q{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{\mu }^{{\rho }_{\mu }-{\alpha }_{\mu }-a}({\lambda }_{\mu }+1{)}^{-{\rho }_{\mu }}d{\lambda }_{\mu }\prod _{\nu =2}^{p-q-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{q+\nu }^{{\alpha }_{q+\nu }-1}\exp (-{\lambda }_{q+\nu })d{\lambda }_{q+\nu }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_p^{{\alpha }_p-1}\exp (-{\lambda }_p)[\frac{{\prod }_{k=q+2}^p{\lambda }_k}{z{\prod }_{k=1}^q{\lambda }_k+1}+1]d{\lambda }_p$

梅耶爾G-函數

梅耶爾G-函數由梅林變換和梅林-巴恩斯積分定義，進一步推廣了廣義超幾何函數，被廣泛地運用在計算機代數系統中。

梅耶爾G-函數

$G_{p,q}^{m,n}\left[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots ,a_p;\\ b_1,\dots ,b_m,b_{m+1},\dots ,b_q;\end{array}z\right]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(s+b_k){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(s+a_k){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-s)}{z}^{-s}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p$

廣義梅耶爾G-函數

$G_{p,q}^{m,n}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots ,a_p;\\ b_1,\dots ,b_m,b_{m+1},\dots ,b_q;\end{array}z,r]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(s+b_k){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(s+a_k){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-s)}{z}^{-s/r}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p\wedge r\in ℝ$

雙變量梅耶爾G-函數

$G_{p,q,u_1,v_1,u_2,v_2}^{m,n,s_1,t_1,s_2,t_2}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p;c_{1,1},\dots ,c_{1,u_1};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_2};\\ b_1,\dots ,b_q;d_{1,1},\dots ,d_{1,v_1};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_2};\end{array}z,w]=-\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{ℒ}{\int }_{{ℒ}^{\prime }}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k+\sigma +\tau ){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+\sigma +\tau ){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}\frac{{\prod }_{k=1}^{s_1}\mathrm{\Gamma }(d_{1,k}+\sigma ){\prod }_{k=1}^{t_1}\mathrm{\Gamma }(1-c_{1,k}-\sigma )}{{\prod }_{k=t_1+1}^{u_1}\mathrm{\Gamma }(c_{1,k}+\sigma ){\prod }_{k=s_1+1}^{v_1}\mathrm{\Gamma }(1-d_{1,k}-\sigma )}\frac{{\prod }_{k=1}^{s_2}\mathrm{\Gamma }(d_{2,k}+\tau ){\prod }_{k=1}^{t_2}\mathrm{\Gamma }(1-c_{2,k}-\tau )}{{\prod }_{k=t_2+1}^{u_2}\mathrm{\Gamma }(c_{2,k}+\tau ){\prod }_{k=s_2+1}^{v_2}\mathrm{\Gamma }(1-d_{2,k}-\tau )}{z}^{-\sigma }{w}^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_1,t_1,s_2,t_2,p,q,u_1,v_1,u_2,v_2\in \mathbb{N},m\le q,n\le p,s_1\le v_1,t_1\le u_1,s_2\le v_2,t_2\le u_2$

福克斯H-函數

$H_{p,q}^{m,n}\left[\begin{array}{c}(a_1,c_1)\dots ,(a_n,c_n),(a_{n+1},c_{n+1}),\dots ,(a_p,c_p);\\ (b_1,d_1)\dots ,(b_m,d_m),(b_{m+1},d_{m+1}),\dots ,(b_q,d_q);\end{array}z\right]\equiv \frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k+d_{k}s){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-c_{k}s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+c_{k}s){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-d_{k}s)}{z}^{-s}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p$

橢圓積分

橢圓積分是一種特殊的有理函數的積分。常用的橢圓積分是三類不完全橢圓積分，因為勒讓德發現所有橢圓積分都可以表示成這三種積分和有理函數的複合。這三類不完全橢圓積分一般被稱作橢圓積分的勒讓德形式，為了計算便利，還能看到對稱形式的橢圓積分。

完全橢圓積分

第一類完全橢圓積分

$K(k)\equiv F(\pi /2,k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1/2{)}_n(1/2{)}_n}{(n!{)}^2}{k}^{2n}=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(1/2,1/2;1;k^2)$

第二類完全橢圓積分

$E(k)\equiv E(\pi /2,k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1/2{)}_n(1/2{)}_n}{(n!{)}^2}{k}^{2n}=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-1/2,1/2;1;k^2)$

第三類完全橢圓積分

$\mathrm{\Pi }(n;k)\equiv \mathrm{\Pi }(n;\pi /2,k)$

不完全橢圓積分

• 第一類不完全橢圓積分F(phi,k)
• 第二類不完全橢圓積分E(phi,k)
• 第三類不完全橢圓積分Pi(n;phi,k)

橢圓函數

橢圓函數是複平面上的雙周期亞純函數，性質由單位胞胎決定。橢圓函數在任何一個胞胎內極點與零點的數量相同，取得任何有限或無限值的次數相同，所有極點的留數之和為零。任意兩個周期相同的橢圓函數間有代數關係，因此一般僅考慮形式最簡單的，階數為二的橢圓函數，這又分為胞胎內有兩個留數互為相反數的一階極點的雅可比橢圓函數和一個留數為零的二階極點的魏爾斯特拉斯橢圓函數。

雅可比theta函數

雅可比theta函數是對指數函數的橢圓的模擬，均是雙擬周期函數，可以用來進一步構造雅可比橢圓函數。雅可比theta函數共有四個，一般由雙邊無窮級數或相應的無窮級數定義，其中第一theta函數是奇函數而其他是偶函數。

• 第一雅可比theta函數

${\vartheta }_1(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1/2}{q}^{(k+1/2{)}^2}\exp ((2k+1)iz)=2\sqrt[4]{q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{k(k+1)}\sin ((2k+1)z)/;|q|<1$

• 第二雅可比theta函數

${\vartheta }_2(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(k+1/2{)}^2}\exp ((2k+1)iz)=2\sqrt[4]{q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k(k+1)}\cos ((2k+1)z)/;|q|<1$

• 第三雅可比theta函數

${\vartheta }_3(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}\exp (2kiz)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}\cos (2kz)+1/;|q|<1$

• 第四雅可比theta函數

${\vartheta }_4(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{k^2}\exp (2kiz)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{k^2}\cos (2kz)+1/;|q|<1$

• 雅可比theta函數的導數vartheta_1(z,q)
• 雅可比theta函數的導數vartheta_2(z,q)
• 雅可比theta函數的導數vartheta_3(z,q)
• 雅可比theta函數的導數vartheta_4(z,q)

內維爾theta函數

內維爾theta函數進一步從雅可比theta函數定義，可以直接用來構造雅可比橢圓函數。

內維爾theta函數${\vartheta }_s$

${\vartheta }_s(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_3^2(q){\vartheta }_1(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{{\vartheta }_1}^{\prime }(q)}$

內維爾theta函數${\vartheta }_c$

${\vartheta }_c(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_2(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_2(q)}$

內維爾theta函數${\vartheta }_d$

${\vartheta }_d(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_3(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_3(q)}$

內維爾theta函數${\vartheta }_n$

${\vartheta }_n(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_4(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_4(q)}$

雅可比橢圓函數

雅可比橢圓函數sn, cn和dn是基本的橢圓函數，一般被分別稱為橢圓正弦函數，橢圓餘弦函數和橢圓德爾塔函數；其他的橢圓函數一般稱為補足橢圓函數。

• 雅可比橢圓函數$\mathrm{sn}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{cn}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{dn}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{ns}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{nc}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{nd}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{sc}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{cs}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{sd}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{ds}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{cd}(u,k)$
• 雅可比橢圓函數$\mathrm{dc}(u,k)$

雅可比振幅函數

雅可比振幅函數是雅可比橢圓函數dn的原函數。

• 雅可比振幅函數am(u,k)

魏爾斯特拉斯橢圓函數

• 魏爾斯特拉斯橢圓函數p(z;g2,g3)
• 魏爾斯特拉斯橢圓函數的導數p'(z;g2,g3)
• 魏爾斯特拉斯zeta函數zeta(z;g2,g3)
• 魏爾斯特拉斯sigma函數sigma(z;g2,g3)
• 連帶魏爾斯特拉斯sigma函數sigma_r(z;g2,g3)

Zeta函數和多重對數函數

第一個zeta函數由黎曼定義。Zeta函數和多重對數函數多通過級數定義並滿足一系列函數方程，在L-函數的理論中有重要意義。 注意，一般出於對黎曼的敬意，zeta函數中分子上的冪利用字母s而非一般複變函數的z,w或u等。

Zeta函數

黎曼zeta函數$\zeta (s)$

$\zeta (s)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}/;\mathrm{\Re }s>1$

赫爾維茨zeta函數$\zeta (s,a)$

$\zeta (s,a)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+k{)}^s}/;\mathrm{\Re }s>1\wedge -a\notin \mathbb{N}$

$\zeta (s,a)\equiv \sum _{k=0}^{a-1}\frac{1}{(a+k{)}^s}+\sum _{k=a+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+k{)}^s}/;\mathrm{\Re }s>1\wedge -a\in \mathbb{N}$

勒奇超越函數$\mathrm{\Phi }(z,s,a)$

：$\mathrm{\Phi }(z,s,a)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }s>1\wedge -a\notin \mathbb{N}$

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)\equiv \sum _{k=0}^{-a-1}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}+\sum _{k=1-a}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }s>1\wedge a\in \mathbb{N}$

多重對數函數

多重對數函數

又稱Jonquière函數。

${\mathrm{Li}}_s(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}/;|z|<1$

雙重對數函數

${\mathrm{Li}}_2(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}/;|z|<1$

三重對數函數

${\mathrm{Li}}_3(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^3}/;|z|<1$

尼爾森廣義多重對數函數$S_{n,p}(z)$

尼爾森廣義多重對數函數由尼爾森定義，推廣了多重對數函數。

$S_{n,p}(z)\equiv \frac{(-1{)}^{n+p+1}}{(n-1)!p!}{\int }_0^1\frac{{\ln }^{n-1}(t){\ln }^p(1-zt)}{t}dt$

馬丟函數和Spheroidal函數

潘勒韋超越函數

六個潘勒韋超越函數對應着具有潘勒韋性質的六個二階非線性常微分方程的解函數，即是它們的可移動奇點都是極點，但卻不是初等的；這一性質在非線性方程中並不常見，而橢圓函數滿足的微分方程正是這一類。埃米爾·皮卡和Lazarus Fuchs首先確認了具有潘勒韋性質的一階非線性常微分方程要麼是一種Riccati方程，要麼可以用魏爾斯特拉斯橢圓函數表示解函數，並指出更高次的方程可能包括是本質奇點的可移動奇點。隨即，埃米爾·皮卡的學生，保羅·潘勒韋和考慮了形如$y^{″}=R(y^{\prime },y,x)$的包含有理函數的微分方程，發現這類方程總是可以變換到50個標準形式中；其中44個形式都由已知的解，但有6個微分方程，被稱為潘勒韋方程需要定義新的解函數。潘勒韋本人定義了前三個潘勒韋超越函數，他的學生Bertrand Gambier定義了另外兩個潘勒韋超越函數，而最後一個潘勒韋超越函數由Richard Fuchs獨立發現，並且前五個潘勒韋超越函數都是第六個潘勒韋超越函數的極限情形。

${\mathrm{P}}_{\mathrm{I}}$

$y^{″}=6y^2+x$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{II}}$

$y^{″}=2y^3+xy+\alpha$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{III}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{y}-\frac{y^{\prime }}{x}+\frac{\alpha y^2+\beta }{x}+\gamma y^3+\frac{\delta }{y}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{IV}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{3y^3}{2}+4x{y}^2+2(x^2-\alpha )+\frac{\beta }{y}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{V}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{y{\text{'}}^2}{y-1}-\frac{y^{\prime }}{x}+\frac{(y-1{)}^2\alpha y}{x^2}+\frac{(y-1{)}^2\beta }{x^{2}y}+\frac{\gamma y}{x}+\frac{\delta y(y+1)}{y-1}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{VI}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{y{\text{'}}^2}{2(y-1)}+\frac{y{\text{'}}^2}{2(y-x)}-\frac{y^{\prime }}{x}-\frac{y^{\prime }}{x-1}-\frac{y^{\prime }}{y-x}+\frac{y(y-1)(y-x)\alpha }{x^2(x-1{)}^2}+\frac{(y-1)(y-x)\beta }{x(x-1{)}^{2}y}+\frac{y(y-x)\gamma }{x^2(x-1)(y-1)}+\frac{y(y-1)\delta }{x(x-1)(y-x)}$