User:TheNewHope/Functions

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函数是一种将一个集合（定义域）中的元素惟一地映射到另一个集合（到达域）中的元素的关系；在本文中，如无特殊说明，函数的定义域均为整个复平面或其子集（一元函数）或它所组成的n-元组（多元函数）。

如果一个关系所对应的映射不惟一，这关系建立一个多值函数；多值函数可以通过支割线被修正为一个函数。

函数可以根据其性质被分为初等函数和特殊函数。初等函数可以通过微分代数的扩张塔定义，是对微分封闭的一个微分域；而特殊函数往往是在数学或物理中具有特殊意义从而被定义的函数。本文将探讨部分常见函数的定义和性质。

经典常数

数学常数是一个有良好定义而有深刻价值的实数。

阿培里常数

阿培里常数可以由黎曼zeta函数定义。

$\zeta (3)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^3}$

阿培里在1979年证明了阿培里常数是一个无理数，尽管尚未得知阿培里常数是否是一个超越数。

卡塔兰常数

卡塔兰常数一般由狄利克雷beta-函数或勒让德chi-函数定义。

$K\equiv \beta (2)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^2}$

$K=-i{\chi }_2(i)=-i\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{i^{2k+1}}{(2k+1{)}^2}$

尚未得知如果卡塔兰常数是一个无理数。

提洛常数

提洛常数是2的立方根，出现在倍立方问题中。提洛常数不是一个欧几里得数，尽管提洛常数是一个三次代数数。

$2^{1/3}=\sqrt[3]{2}$

欧拉-马斯刻若尼常数

欧拉-马斯刻若尼常数$\gamma$被定义为一个极限

$\gamma \equiv \underset{k\to \mathrm{\infty }}{lim}{H}_k-\ln k$

尽管这个常数有一系列极限或积分定义，一个封闭形式可能不存在。

辛钦常数

$K=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{[1+\frac{1}{k(k+2)}]}^{{\log }_2(k)}$

毕达哥拉斯常数

毕达哥拉斯常数是2的平方根，被毕达哥拉斯常数证明为无理数。

$\sqrt{2}$

贝塞尔函数

一系列被统称为贝塞尔函数的函数是一系列特殊微分方程的无法被初等函数表示的解函数。

贝塞尔函数

更严格的“贝塞尔函数”指由两个线性无关的函数给出的贝塞尔方程的通解，而修正函数即是虚宗量的贝塞尔函数。其中诺伊曼函数又称第二类贝塞尔函数，而贝塞尔函数又称第一类贝塞尔函数。其中，诺伊曼函数在整数点处必须通过极限或更复杂的级数定义。

• 贝塞尔函数

$J_{\nu }(z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)k!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +2k}$

• 诺伊曼函数

$Y_{\nu }(z)\equiv \frac{J_{\nu }(z)\cos (\nu \pi )-J_{-\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )}/;\nu \notin \mathbb{Z}$

$Y_{\nu }(z)\equiv -\frac{{(z/2)}^{-\nu }}{\pi }\sum _{k=0}^{\nu -1}\frac{(\nu -k-1)!}{k!}{\left(\frac{z^2}{4}\right)}^k+\frac{2}{\pi }\ln (\frac{z}{2})J_{\nu }(z)-\frac{{(z/2)}^{\nu }}{\pi }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[{\psi }_0(\nu +k+1)+{\psi }_0(k+1)]\frac{{(-z^2/4)}^k}{(\nu +k)!k!}/;\nu \in \mathbb{Z}$

• 修正贝塞尔函数

$I_{\nu }(z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)k!}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +2k}$

• 修正诺伊曼函数

$K_{\nu }(z)\equiv \frac{\pi }{2}\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin (\nu \pi )};\nu \notin \mathbb{Z}$

$K_{\nu }(z)\equiv \frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{-\nu }\sum _{k=0}^{\nu -1}\frac{(\nu -k-1)!}{k!}{(-\frac{z^2}{4})}^k+(-1{)}^{\nu +1}\ln (\frac{z}{2})I_{\nu }(z)+(-1{)}^{\nu }\frac{1}{2}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}[{\psi }_0(\nu +k+1)+{\psi }_0(k+1)]\frac{(z^2/4{)}^k}{(\nu +k)!k!}/;\nu \in \mathbb{Z}$

汉克尔函数

汉克尔函数是贝塞尔方程另一对的通解，又被称为第三类贝塞尔函数。

• 汉克尔函数H^(1)_n(z)
• 诺伊曼函数H^(2)_n(z)

球贝塞尔函数

一般的贝塞尔函数是在圆柱坐标上求解拉普拉斯方程发现的，在球坐标下，另有四个球贝塞尔函数。

• 球贝塞尔函数J_n(z)
• 球诺伊曼函数Y_n(z)
• 球汉克尔函数H^(1)_n(z)
• 球汉克尔函数H^(2)_n(z)

艾里函数

艾里函数Ai和Bi是齐次艾里方程（又称斯托克斯方程）$y^{″}-xy=0$的一对线性无关的通解，是复平面上的全纯函数。被特别称为Scorer函数的函数Gi和Hi也是方程的线性无关解，不过是在解被称为Scorer方程的非齐次方程$y^{″}-xy=\pm 1/\pi$时出现的，相对来说不常见。艾里函数一般由合流超几何极限函数定义，这也提供了一种定义其导数的方法。

艾里函数

艾里函数$\mathrm{Ai}(z)$

$\mathrm{Ai}(z)\equiv \frac{1}{3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;2/3;z^3/9)-\frac{z}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;4/3;z^3/9)$

艾里函数$\mathrm{Bi}(z)$

$\mathrm{Bi}(z)\equiv \frac{1}{3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;2/3;z^3/9)-\frac{3^{1/6}z}{\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;4/3;z^3/9)$

艾里函数的导数${\mathrm{Ai}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Ai}}^{\prime }(z)\equiv \frac{\partial }{\partial z}\mathrm{Ai}(z)=\frac{z^2}{2\cdot 3^{2/3}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;5/3;z^3/9)-\frac{1}{3^{1/3}\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;1/3;z^3/9)$

艾里函数的导数${\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{\partial }{\partial z}\mathrm{Bi}(z)=\frac{z^2}{2\cdot 3^{1/6}\mathrm{\Gamma }(2/3)}{}_0{F}_1(;5/3;z^3/9)-\frac{3^{1/6}}{\mathrm{\Gamma }(1/3)}{}_0{F}_1(;1/3;z^3/9)$

Scorer函数

Scorer函数$\mathrm{Gi}(z)$

$\mathrm{Gi}(z)\equiv \frac{1}{3}\mathrm{Bi}(z)-\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

Scorer函数$\mathrm{Hi}(z)$

$\mathrm{Hi}(z)\equiv \frac{2}{3}\mathrm{Bi}(z)+\frac{z^2}{2\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)$

Scorer函数的导数${\mathrm{Gi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Gi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{1}{3}{\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)-\frac{z}{\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)-\frac{3z^4}{40\pi }{}_1{F}_2(2;7/3,8/3;z^3/9)$

Scorer函数的导数${\mathrm{Hi}}^{\prime }(z)$

${\mathrm{Hi}}^{\prime }(z)\equiv \frac{2}{3}{\mathrm{Bi}}^{\prime }(z)+\frac{z}{\pi }{}_1{F}_2(1;4/3,5/3;z^3/9)+\frac{3z^4}{40\pi }{}_1{F}_2(2;7/3,8/3;z^3/9)$

司徒卢威函数

司徒卢威函数给出非齐次的贝塞尔方程的解。

• 司徒卢威函数H_v(z)
• 修正司徒卢威函数L_v(z)

开尔文函数

开尔文函数进一步由贝塞尔函数和诺伊曼函数定义，分别给出其实部和虚部。 开尔文函数满足恒等式

$J_{\nu }(z\exp (3\pi i/4))={\mathrm{ber}}_{\nu }(z)+i{\mathrm{bei}}_{\nu }(z)$

$\exp (-\nu \pi i/2)K_{\nu }(z\exp (\pi i/4))={\ker }_{\nu }(z)+i{\mathrm{kei}}_{\nu }(z)$

使得

开尔文函数ber_v(z)

${\mathrm{ber}}_{\nu }(z)\equiv \mathrm{\Re }{J}_{\nu }(z\exp (3\pi i/4))=(z/2{)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos ((3\nu /4+k/2)\pi )}{\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)}\frac{(z^2/4{)}^k}{k!}=\frac{\exp (-3i\pi \nu /4)z^{\nu }}{2\cdot ((-1{)}^{1/4}z{)}^{\nu }}(\exp (2\pi i\nu /2)I_{\nu }((-1{)}^{1/4}z)+J_{\nu }((-1{)}^{1/4}z))$

• 开尔文函数bei_v(z)
• 开尔文函数ker_v(z)
• 开尔文函数kei_v(z)

欧拉积分

共有两类欧拉积分。第一类欧拉积分给出贝塔函数，第二类欧拉积分给出伽马函数，后者是阶乘在复数域上的解析延拓，是非常重要的亚纯函数，并且有多种推广。

伽马函数

通过更换欧拉积分的积分上下界，可以定义不完全的伽马函数。

完全伽马函数

伽马函数$\mathrm{\Gamma }(z)$

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(z)& \equiv {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\exp (-t)dt/;\mathrm{\Re }z>0\\ & ={\int }_1^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}\exp (-t)dt+\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!(k+z)}\end{array}$

不完全伽马函数

上不完全伽马函数$\mathrm{\Gamma }(a,z)$

$\mathrm{\Gamma }(a,z)\equiv {\int }_z^{\mathrm{\infty }}{t}^{a-1}\exp (-t)dt$

下不完全伽马函数$\gamma (a,z)$

$\begin{array}{cc}\gamma (a,z)& \equiv {\int }_0^z{t}^{a-1}\exp (-t)dt\\ & =a^{-1}{z}^a{}_1{F}_1(a;a+1;-z);/-a\notin \mathbb{N}\end{array}$

正则伽马函数

正则上不完全伽马函数$Q(a,z)$

$Q(a,z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a,z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

正则下不完全伽马函数$P(a,z)$

$P(a,z)\equiv \frac{\gamma (a,z)}{\mathrm{\Gamma }(z)}$

多重伽马函数

多重伽马函数由伽马函数的导数给出，调和数和交错调和数及其推广可以据此定义。

• 双重伽马函数psi(z)
• 多重伽马函数psi_n(z)
• 调和数H_n
• 广义调和数H_n,r

贝塔函数

贝塔函数最初由积分定义，但可以表示为伽马函数之商。

贝塔函数$\mathrm{B}(a,b)$

$\mathrm{B}(a,b)\equiv {\int }_0^1{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(b)}{\mathrm{\Gamma }(a+b)}$

不完全贝塔函数$\mathrm{B}(z;a,b)$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv {\int }_0^z{t}^{a-1}(1-t{)}^{b-1}dt;/\mathrm{\Re }a>0\wedge \mathrm{\Re }b>0\wedge |z|<1$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a)z^a}{\mathrm{\Gamma }(a+1)}{}_2{F}_1(a,1-b;a+1;z)/;-a\notin \mathbb{N}$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv z^a\sum _{k=0}^{b-1}\frac{(1-b{)}_k{z}^k}{(k-a)k!}/;-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a$

$\mathrm{B}(z;a,b)\equiv \mathrm{\infty }/;-a=0\vee (-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge \mathrm{\neg }(b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a))$

正则不完全贝塔函数$I(z;a,b)$

$I(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{B}(z;a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}$

$I(z;a,b)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(a+b)}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(a+1)}{z}^a{}_2{F}_1(a,1-b;a+1;z)/;-a\notin \mathbb{N}$

$I(z;a,b)\equiv \frac{(-1{)}^b(-a)!z^a}{(-a-b)!(b-1)!}\sum _{k=0}^{b-1}\frac{(1-b{)}_k{z}^k}{(k+a)k!}/;-a\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a$

$I(z;a,b)\equiv 1/;-a\in \mathbb{N}\wedge \mathrm{\neg }(b\in {\mathbb{N}}^{+}\wedge b\le -a)$

误差函数

误差函数

• 误差函数erf(z)
• 互补误差函数erfc(z)
• 虚误差函数erfi(z)

菲涅耳积分

菲涅耳积分$S(z)$

$S(z)\equiv {\int }_0^z\sin (t^2)dt=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{4k+3}}{(2k+1)!(4k+3)}$

菲涅耳积分$C(z)$

$C(z)\equiv {\int }_0^z\cos (t^2)dt=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k{z}^{4k+1}}{(2k)!(4k+1)}$

指数积分

以下是一些常见的初等原函数。指数积分Ei和对数积分li是定义在实数上的函数，并且后者与拉马努金-索德纳常数有关。

指数积分Ei(x)

En指数积分E_n(z)

对数积分li(x)

三角积分

正弦积分$\mathrm{Si}(z)$

$\mathrm{Si}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{\sin (t)}{t}dt$

正弦积分$\mathrm{si}(z)$

$\mathrm{si}(z)\equiv -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (t)}{t}dt=\mathrm{Si}(z)-\frac{\pi }{2}$

余弦积分$\mathrm{Ci}(z)$

$\mathrm{Ci}(z)\equiv -{\int }_z^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos (t)}{t}dt$

余弦积分$\mathrm{Cin}(z)$

$\mathrm{Cin}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{1-\cos (t)}{t}dt=-\mathrm{Ci}(z)+\ln (z)+\gamma$

双曲正弦积分$\mathrm{Shi}(z)$

$\mathrm{Shi}(z)\equiv {\int }_0^z\frac{\sinh (t)}{t}dt$

双曲余弦积分$\mathrm{Chi}(z)$

$\mathrm{Chi}(z)\equiv \gamma +\ln (z)+{\int }_0^z\frac{\cosh (t)-1}{t}dt$

超几何函数

超几何函数是用幂级数定义的函数，其中幂级数的系数由若干个珀赫哈默尔符号的积和商给出，正则化的超几何函数则使用伽马函数代替珀赫哈默尔符号。一般的单变量超几何函数拥有p_F_q的形式，其中p与q分别表示分子和分母中项的个数，并且根据p和q的关系决定合适的定义和解析延拓。多变量的超几何级数的收敛格外复杂。大多数常见的函数都可以表示为超几何函数的特殊情形。

合流超几何函数

合流超几何函数是高斯超几何函数的极限情形，作为合流超几何方程的解出现。注意0F0的超几何函数即是幂函数，1F0的超几何函数可以表示为特殊的幂运算，而0F1的超几何函数可以用贝塞尔函数，所以它们一般不作定义。作为线性独立的微分方程的解，Kummer合流超几何函数和Tricomi合流超几何函数又分别被称为第一类合流超几何函数和第二类合流超几何函数。

合流超几何极限函数

${}_0{F}_1(;b;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(b{)}_{k}k!}$

合流超几何函数

Kummer合流超几何函数

${}_1{F}_1(a;b;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k{z}^k}{(b{)}_{k}k!}$

Tricomi合流超几何函数

$U(a,b;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(b-1)}{\mathrm{\Gamma }(a)}{z}^{1-b}{}_1{F}_1(a-b+1;2-b;z)+\frac{\mathrm{\Gamma }(1-b)}{\mathrm{\Gamma }(a-b+1)}{z}^{1-b}{}_1{F}_1(a;b;z)/;b\notin \mathbb{Z}$

惠泰克超几何函数

Whittaker超几何函数M

${\displaystyle }$

Whittaker超几何函数W

普通超几何函数

对于给定的单变量超几何函数，如果级数截断为多项式，也即因为b_k是负整数导致分母中珀赫哈默尔符号给出0，则可以使用正则化的定义。其他时候，如果p=q，函数可以用等价的级数或积分定义；如果p=q+1，级数仅在单位圆盘内（根据给定的参数，可能包括边界）收敛，此时通过反射公式进行线性变换的解析延拓和积分定义仍然等价；如果p>q+1，超几何函数只能通过积分定义，因为级数只在z=0收敛。

• 高斯超几何函数2F1(a,b;c;z)

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_k}\frac{z^k}{k!}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }(c-a-b)>0$

${}_2{F}_1(a,b;c;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }(b-a)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-a}}{\mathrm{\Gamma }(b)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(a-c+1{)}_k}{(a-b+1{)}_k}\frac{z^{-k}}{k!}+\frac{\mathrm{\Gamma }(a-b)\mathrm{\Gamma }(c)(-z{)}^{-b}}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(b{)}_k(b-c+1{)}_k}{(-a+b+1{)}_k}\frac{z^{-k}}{k!}/;|z|>1\wedge a-b\notin \mathbb{Z}$

广义超几何函数

• 广义超几何函数pFq(a_1,...a_p;b_1,...,b_q;z)
  • 广义超几何函数0F0 ${}_0{F}_0(;;z)=\exp (z)$
  • 广义超几何函数1F0 ${}_1{F}_0(a;;z)=(1-z{)}^{-a}$

多变量超几何函数

阿佩尔超几何函数

阿佩尔超几何函数是一类双变量的超几何函数，级数收敛的范围不相同。阿佩尔等人定义了共计四个超几何函数。

• 阿佩尔超几何函数F1

$F_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x|<1\wedge |y|<1$

• 阿佩尔超几何函数F2

$F_2(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_m{\left({\gamma }^{\prime }\right)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x+y|<1$

• 阿佩尔超几何函数F3

$F_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m{\left({\alpha }^{\prime }\right)}_n(\beta {)}_m{\left({\beta }^{\prime }\right)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x|<1\wedge |y|<1$

• 阿佩尔超几何函数F4

$F_4(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m{\left({\gamma }^{\prime }\right)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}/;|x{|}^{1/2}+|y{|}^{1/2}<1$

Horn函数

尽管阿佩尔仅定义了四个双元超几何函数，Horn指出二阶的超几何函数共有34个，包括14个完全的级数和20个合流的级数。以下列表列出了14个完全的Horn函数，其中前四个函数即是阿佩尔超几何函数。

• $F_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $F_2(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ,{\gamma }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w|<1$
• $F_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $F_4(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;\sqrt{|z|}+\sqrt{|w|}<1$
• $G_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w|<1$
• $G_2(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ,{\beta }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|<1\wedge |w|<1$
• $G_3(\alpha ,{\alpha }^{\prime };z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2n-m}({\alpha }^{\prime }{)}_{2m-n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;27|z{|}^2|w{|}^2+18|z||w|\pm 4(|z|-|w|)<1$
• $H_1(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_{m+n}(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z||w|+2|w|-|w{|}^2<1$
• $H_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;ϵ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m(\gamma {)}_n(\delta {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;1/|w|-|z|<1$
• $H_3(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z|+|w{|}^2-|w|<0$
• $H_4(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_n}{(\gamma {)}_m(\delta {)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z|+2|w|-|w{|}^2<1$
• $H_5(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}(\beta {)}_{n-m}}{(\gamma {)}_n}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;16|z{|}^2-36|z||w|\pm (8|z|-|w|+27|z||w{|}^2)<-1$
• $H_6(\alpha ;\beta ;\gamma ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_{n-m}(\gamma {)}_n\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;|z||w{|}^2+|w|<1$
• $H_7(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;z,w)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_n(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{z^m{w}^n}{m!n!}/;4|z|+2/|s|-1/|s{|}^2<1$

以下则是20个合流的Horn函数，要小心完全的H函数和合流的H函数有可能混淆。

• ${\mathrm{\Phi }}_1(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Phi }}_2(\beta ,{\beta }^{\prime };\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta {)}_m({\beta }^{\prime }{)}_n}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Phi }}_3(\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Psi }}_1(\alpha ;\beta ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Psi }}_2(\alpha ;\gamma ,{\gamma }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m+n}}{(\gamma {)}_m({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Xi }}_1(\alpha ,{\alpha }^{\prime };\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m({\alpha }^{\prime }{)}_n(\beta {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}({\gamma }^{\prime }{)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Xi }}_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_m(\alpha {)}_m}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Gamma }}_1(\alpha ;\beta ,{\beta }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_m(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• ${\mathrm{\Gamma }}_2(\beta ,{\beta }^{\prime };x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\beta {)}_{n-m}({\beta }^{\prime }{)}_{m-n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_1(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_{m+n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_2(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_3(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_m}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_4(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_5(\alpha ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_6(\alpha ;\gamma ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}}{(\gamma {)}_{m+n}}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_7(\alpha ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m+n}}{(\gamma {)}_m(\delta {)}_n}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_8(\alpha ;\beta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_{n-m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_9(\alpha ;\beta ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}(\beta {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_{10}(\alpha ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{2m-n}}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$
• $H_{11}(\alpha ;\beta ;\gamma ;\delta ;x,y)\equiv \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\alpha {)}_{m-n}(\beta {)}_n(\gamma {)}_n}{(\delta {)}_m}\frac{x^m{y}^n}{m!n!}$

Kampé de Fériet函数

Kampé de Fériet函数将阿佩尔超几何函数推广到了任意参数的情形。

• Kampé de Fériet函数F^p,r,t_q,s,u(c_p,d_q;a_r,b_s;alpha_t,beta_u;x,y)

嫪丽切拉函数

嫪丽切拉函数将阿佩尔超几何函数推广到了任意变量，在下述四个函数中，n代表变量数目，是正整数。如果n为2，四个函数分别退化为第二，第三，第四和第一阿佩尔超几何函数；如果n为1，全部函数均退化为高斯超几何函数。

嫪丽切拉n变量函数$F_A^{(n)}$

$F_A^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\left|z_1\right|+\dots +\left|z_n\right|<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_B^{(n)}$

$F_B^{(n)}(a_1,\dots ,a_n;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a_1\right)}_{k_1}\dots {\left(a_n\right)}_{k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/max(\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_C^{(n)}$

$F_C^{(n)}(a;b;c_1,\dots ,c_n;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{k_1+\dots +k_n}(b{)}_{k_1+\dots +k_n}}{{\left(c_1\right)}_{k_1}\dots {\left(c_n\right)}_{k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/\sqrt{\left|z_1\right|}+\dots +\sqrt{\left|z_n\right|}<1$

嫪丽切拉n变量函数$F_D^{(n)}$

$F_D^{(n)}(a;b_1,\dots ,b_n;c;z_1,\dots ,z_n)=\sum _{k_1=0}^{\mathrm{\infty }}\dots \sum _{k_n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(a\right)}_{k_1+\dots k_n}{\left(b_1\right)}_{k_1}\dots {\left(b_n\right)}_{k_n}}{{\left(c\right)}_{k_1+\dots k_n}}\frac{z_1^{k_1}\dots z_n^{k_n}}{k_1!\dots k_n!};/max(\left|z_1\right|,\dots ,\left|z_n\right|)<1$

梅耶尔G-函数

麦克罗伯特E-函数

$E(p;{\alpha }_r;{\rho }_s;z)\equiv \frac{\mathrm{\Gamma }({\alpha }_{q+1})}{{\prod }_{k=1}^q\mathrm{\Gamma }({\rho }_k-{\alpha }_k)}\prod _{\mu =1}^q{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{\mu }^{{\rho }_{\mu }-{\alpha }_{\mu }-a}({\lambda }_{\mu }+1{)}^{-{\rho }_{\mu }}d{\lambda }_{\mu }\prod _{\nu =2}^{p-q-1}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_{q+\nu }^{{\alpha }_{q+\nu }-1}\exp (-{\lambda }_{q+\nu })d{\lambda }_{q+\nu }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }_p^{{\alpha }_p-1}\exp (-{\lambda }_p)[\frac{{\prod }_{k=q+2}^p{\lambda }_k}{z{\prod }_{k=1}^q{\lambda }_k+1}+1]d{\lambda }_p$

梅耶尔G-函数

梅耶尔G-函数由梅林变换和梅林-巴恩斯积分定义，进一步推广了广义超几何函数，被广泛地运用在计算机代数系统中。

梅耶尔G-函数

$G_{p,q}^{m,n}\left[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots ,a_p;\\ b_1,\dots ,b_m,b_{m+1},\dots ,b_q;\end{array}z\right]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(s+b_k){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(s+a_k){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-s)}{z}^{-s}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p$

广义梅耶尔G-函数

$G_{p,q}^{m,n}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_n,a_{n+1},\dots ,a_p;\\ b_1,\dots ,b_m,b_{m+1},\dots ,b_q;\end{array}z,r]=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(s+b_k){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(s+a_k){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-s)}{z}^{-s/r}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p\wedge r\in ℝ$

双变量梅耶尔G-函数

$G_{p,q,u_1,v_1,u_2,v_2}^{m,n,s_1,t_1,s_2,t_2}[\begin{array}{c}{a}_1,\dots ,a_p;c_{1,1},\dots ,c_{1,u_1};c_{2,1},\dots ,c_{2,u_2};\\ b_1,\dots ,b_q;d_{1,1},\dots ,d_{1,v_1};d_{2,1},\dots ,d_{2,v_2};\end{array}z,w]=-\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{ℒ}{\int }_{{ℒ}^{\prime }}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k+\sigma +\tau ){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+\sigma +\tau ){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-a_k-\sigma -\tau )}\frac{{\prod }_{k=1}^{s_1}\mathrm{\Gamma }(d_{1,k}+\sigma ){\prod }_{k=1}^{t_1}\mathrm{\Gamma }(1-c_{1,k}-\sigma )}{{\prod }_{k=t_1+1}^{u_1}\mathrm{\Gamma }(c_{1,k}+\sigma ){\prod }_{k=s_1+1}^{v_1}\mathrm{\Gamma }(1-d_{1,k}-\sigma )}\frac{{\prod }_{k=1}^{s_2}\mathrm{\Gamma }(d_{2,k}+\tau ){\prod }_{k=1}^{t_2}\mathrm{\Gamma }(1-c_{2,k}-\tau )}{{\prod }_{k=t_2+1}^{u_2}\mathrm{\Gamma }(c_{2,k}+\tau ){\prod }_{k=s_2+1}^{v_2}\mathrm{\Gamma }(1-d_{2,k}-\tau )}{z}^{-\sigma }{w}^{-\tau }d\sigma d\tau /;m,n,s_1,t_1,s_2,t_2,p,q,u_1,v_1,u_2,v_2\in \mathbb{N},m\le q,n\le p,s_1\le v_1,t_1\le u_1,s_2\le v_2,t_2\le u_2$

福克斯H-函数

$H_{p,q}^{m,n}\left[\begin{array}{c}(a_1,c_1)\dots ,(a_n,c_n),(a_{n+1},c_{n+1}),\dots ,(a_p,c_p);\\ (b_1,d_1)\dots ,(b_m,d_m),(b_{m+1},d_{m+1}),\dots ,(b_q,d_q);\end{array}z\right]\equiv \frac{1}{2\pi i}{\int }_{ℒ}\frac{{\prod }_{k=1}^m\mathrm{\Gamma }(b_k+d_{k}s){\prod }_{k=1}^n\mathrm{\Gamma }(1-a_k-c_{k}s)}{{\prod }_{k=n+1}^p\mathrm{\Gamma }(a_k+c_{k}s){\prod }_{k=m+1}^q\mathrm{\Gamma }(1-b_k-d_{k}s)}{z}^{-s}ds/;m,n,p,q\in \mathbb{N}\wedge m\le q\wedge n\le p$

椭圆积分

椭圆积分是一种特殊的有理函数的积分。常用的椭圆积分是三类不完全椭圆积分，因为勒让德发现所有椭圆积分都可以表示成这三种积分和有理函数的复合。这三类不完全椭圆积分一般被称作椭圆积分的勒让德形式，为了计算便利，还能看到对称形式的椭圆积分。

完全椭圆积分

第一类完全椭圆积分

$K(k)\equiv F(\pi /2,k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(1/2{)}_n(1/2{)}_n}{(n!{)}^2}{k}^{2n}=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(1/2,1/2;1;k^2)$

第二类完全椭圆积分

$E(k)\equiv E(\pi /2,k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1/2{)}_n(1/2{)}_n}{(n!{)}^2}{k}^{2n}=\frac{\pi }{2}{}_2{F}_1(-1/2,1/2;1;k^2)$

第三类完全椭圆积分

$\mathrm{\Pi }(n;k)\equiv \mathrm{\Pi }(n;\pi /2,k)$

不完全椭圆积分

• 第一类不完全椭圆积分F(phi,k)
• 第二类不完全椭圆积分E(phi,k)
• 第三类不完全椭圆积分Pi(n;phi,k)

椭圆函数

椭圆函数是复平面上的双周期亚纯函数，性质由单位胞胎决定。椭圆函数在任何一个胞胎内极点与零点的数量相同，取得任何有限或无限值的次数相同，所有极点的留数之和为零。任意两个周期相同的椭圆函数间有代数关系，因此一般仅考虑形式最简单的，阶数为二的椭圆函数，这又分为胞胎内有两个留数互为相反数的一阶极点的雅可比椭圆函数和一个留数为零的二阶极点的魏尔斯特拉斯椭圆函数。

雅可比theta函数

雅可比theta函数是对指数函数的椭圆的模拟，均是双拟周期函数，可以用来进一步构造雅可比椭圆函数。雅可比theta函数共有四个，一般由双边无穷级数或相应的无穷级数定义，其中第一theta函数是奇函数而其他是偶函数。

• 第一雅可比theta函数

${\vartheta }_1(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{k-1/2}{q}^{(k+1/2{)}^2}\exp ((2k+1)iz)=2\sqrt[4]{q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{k(k+1)}\sin ((2k+1)z)/;|q|<1$

• 第二雅可比theta函数

${\vartheta }_2(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{(k+1/2{)}^2}\exp ((2k+1)iz)=2\sqrt[4]{q}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k(k+1)}\cos ((2k+1)z)/;|q|<1$

• 第三雅可比theta函数

${\vartheta }_3(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}\exp (2kiz)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{q}^{k^2}\cos (2kz)+1/;|q|<1$

• 第四雅可比theta函数

${\vartheta }_4(z,q)\equiv \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{q}^{k^2}\exp (2kiz)=1+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{q}^{k^2}\cos (2kz)+1/;|q|<1$

• 雅可比theta函数的导数vartheta_1(z,q)
• 雅可比theta函数的导数vartheta_2(z,q)
• 雅可比theta函数的导数vartheta_3(z,q)
• 雅可比theta函数的导数vartheta_4(z,q)

内维尔theta函数

内维尔theta函数进一步从雅可比theta函数定义，可以直接用来构造雅可比椭圆函数。

内维尔theta函数${\vartheta }_s$

${\vartheta }_s(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_3^2(q){\vartheta }_1(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{{\vartheta }_1}^{\prime }(q)}$

内维尔theta函数${\vartheta }_c$

${\vartheta }_c(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_2(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_2(q)}$

内维尔theta函数${\vartheta }_d$

${\vartheta }_d(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_3(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_3(q)}$

内维尔theta函数${\vartheta }_n$

${\vartheta }_n(z,q)\equiv \frac{{\vartheta }_4(z/{\vartheta }_3^2(q),q)}{{\vartheta }_4(q)}$

雅可比椭圆函数

雅可比椭圆函数sn, cn和dn是基本的椭圆函数，一般被分别称为椭圆正弦函数，椭圆余弦函数和椭圆德尔塔函数；其他的椭圆函数一般称为补足椭圆函数。

• 雅可比椭圆函数$\mathrm{sn}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{cn}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{dn}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{ns}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{nc}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{nd}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{sc}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{cs}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{sd}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{ds}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{cd}(u,k)$
• 雅可比椭圆函数$\mathrm{dc}(u,k)$

雅可比振幅函数

雅可比振幅函数是雅可比椭圆函数dn的原函数。

• 雅可比振幅函数am(u,k)

魏尔斯特拉斯椭圆函数

• 魏尔斯特拉斯椭圆函数p(z;g2,g3)
• 魏尔斯特拉斯椭圆函数的导数p'(z;g2,g3)
• 魏尔斯特拉斯zeta函数zeta(z;g2,g3)
• 魏尔斯特拉斯sigma函数sigma(z;g2,g3)
• 连带魏尔斯特拉斯sigma函数sigma_r(z;g2,g3)

Zeta函数和多重对数函数

第一个zeta函数由黎曼定义。Zeta函数和多重对数函数多通过级数定义并满足一系列函数方程，在L-函数的理论中有重要意义。 注意，一般出于对黎曼的敬意，zeta函数中分子上的幂利用字母s而非一般复变函数的z,w或u等。

Zeta函数

黎曼zeta函数$\zeta (s)$

$\zeta (s)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^s}/;\mathrm{\Re }s>1$

赫尔维茨zeta函数$\zeta (s,a)$

$\zeta (s,a)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+k{)}^s}/;\mathrm{\Re }s>1\wedge -a\notin \mathbb{N}$

$\zeta (s,a)\equiv \sum _{k=0}^{a-1}\frac{1}{(a+k{)}^s}+\sum _{k=a+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(a+k{)}^s}/;\mathrm{\Re }s>1\wedge -a\in \mathbb{N}$

勒奇超越函数$\mathrm{\Phi }(z,s,a)$

：$\mathrm{\Phi }(z,s,a)\equiv \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }s>1\wedge -a\notin \mathbb{N}$

$\mathrm{\Phi }(z,s,a)\equiv \sum _{k=0}^{-a-1}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}+\sum _{k=1-a}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{(a+k{)}^s}/;|z|<1\vee |z|=1\wedge \mathrm{\Re }s>1\wedge a\in \mathbb{N}$

多重对数函数

多重对数函数

又称Jonquière函数。

${\mathrm{Li}}_s(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^s}/;|z|<1$

双重对数函数

${\mathrm{Li}}_2(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^2}/;|z|<1$

三重对数函数

${\mathrm{Li}}_3(z)\equiv \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k^3}/;|z|<1$

尼尔森广义多重对数函数$S_{n,p}(z)$

尼尔森广义多重对数函数由尼尔森定义，推广了多重对数函数。

$S_{n,p}(z)\equiv \frac{(-1{)}^{n+p+1}}{(n-1)!p!}{\int }_0^1\frac{{\ln }^{n-1}(t){\ln }^p(1-zt)}{t}dt$

马丢函数和Spheroidal函数

潘勒韦超越函数

六个潘勒韦超越函数对应着具有潘勒韦性质的六个二阶非线性常微分方程的解函数，即是它们的可移动奇点都是极点，但却不是初等的；这一性质在非线性方程中并不常见，而椭圆函数满足的微分方程正是这一类。埃米尔·皮卡和Lazarus Fuchs首先确认了具有潘勒韦性质的一阶非线性常微分方程要么是一种Riccati方程，要么可以用魏尔斯特拉斯椭圆函数表示解函数，并指出更高次的方程可能包括是本质奇点的可移动奇点。随即，埃米尔·皮卡的学生，保罗·潘勒韦和考虑了形如$y^{″}=R(y^{\prime },y,x)$的包含有理函数的微分方程，发现这类方程总是可以变换到50个标准形式中；其中44个形式都由已知的解，但有6个微分方程，被称为潘勒韦方程需要定义新的解函数。潘勒韦本人定义了前三个潘勒韦超越函数，他的学生Bertrand Gambier定义了另外两个潘勒韦超越函数，而最后一个潘勒韦超越函数由Richard Fuchs独立发现，并且前五个潘勒韦超越函数都是第六个潘勒韦超越函数的极限情形。

${\mathrm{P}}_{\mathrm{I}}$

$y^{″}=6y^2+x$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{II}}$

$y^{″}=2y^3+xy+\alpha$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{III}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{y}-\frac{y^{\prime }}{x}+\frac{\alpha y^2+\beta }{x}+\gamma y^3+\frac{\delta }{y}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{IV}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{3y^3}{2}+4x{y}^2+2(x^2-\alpha )+\frac{\beta }{y}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{V}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{y{\text{'}}^2}{y-1}-\frac{y^{\prime }}{x}+\frac{(y-1{)}^2\alpha y}{x^2}+\frac{(y-1{)}^2\beta }{x^{2}y}+\frac{\gamma y}{x}+\frac{\delta y(y+1)}{y-1}$

${\mathrm{P}}_{\mathrm{VI}}$

$y^{″}=\frac{y{\text{'}}^2}{2y}+\frac{y{\text{'}}^2}{2(y-1)}+\frac{y{\text{'}}^2}{2(y-x)}-\frac{y^{\prime }}{x}-\frac{y^{\prime }}{x-1}-\frac{y^{\prime }}{y-x}+\frac{y(y-1)(y-x)\alpha }{x^2(x-1{)}^2}+\frac{(y-1)(y-x)\beta }{x(x-1{)}^{2}y}+\frac{y(y-x)\gamma }{x^2(x-1)(y-1)}+\frac{y(y-1)\delta }{x(x-1)(y-x)}$